Арифметика абелевых многообразий
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( октябрь 2013 г. ) |
В математике арифметика абелевых многообразий — это изучение теории чисел абелева многообразия или семейства абелевых многообразий. Это восходит к исследованиям Пьера де Ферма о том, что сейчас называется эллиптическими кривыми ; и стала очень существенной областью арифметической геометрии как с точки зрения результатов, так и с точки зрения гипотез. Большинство из них можно задать для абелева многообразия A над числовым полем K ; или в более общем смысле (для глобальных полей или более общих конечно порожденных колец или полей).
Целые точки на абелевых многообразиях
[ редактировать ]Здесь существует некоторое противоречие между понятиями: целочисленная точка в каком-то смысле принадлежит аффинной геометрии , тогда как абелево многообразие по своей сути определено в проективной геометрии . Основные результаты, такие как теорема Зигеля о целых точках , исходят из теории диофантовой аппроксимации .
Рациональные точки зрения на абелевы многообразия
[ редактировать ]Основной результат, теорема Морделла-Вейля в диофантовой геометрии , говорит, что A ( K ), группа точек на A над K , является конечно порожденной абелевой группой . много информации о возможных крученых подгруппах Известно , по крайней мере, когда A — эллиптическая кривая. Считается, что вопрос о ранге связан с L-функциями (см. ниже).
Теория торсора здесь приводит к группе Сельмера и группе Тейта–Шафаревича , последняя (предположительно конечная) трудна для изучения.
высоты
[ редактировать ]Теория высот играет заметную роль в арифметике абелевых многообразий. Например, каноническая высота Нерона-Тейта представляет собой квадратичную форму с замечательными свойствами, которые появляются в формулировке гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера .
Модуляция снижения p
[ редактировать ]Редукция абелева многообразия A по модулю простого идеала (целых чисел) K — скажем, простого числа p — для получения абелева многообразия A p над конечным полем возможна почти для всех p . «плохие» простые числа, для которых приведение вырождается из-за приобретения особых точек Известно, что , дают очень интересную информацию. Как это часто бывает в теории чисел, «плохие» простые числа играют в теории довольно активную роль.
уточненной теории (по сути) правого сопряжения к редукции по модулю p — модели Нерона Здесь не всегда можно избежать . В случае эллиптической кривой существует алгоритм Джона Тейта, описывающий ее.
L-функции
[ редактировать ]Для абелевых многообразий, таких как A p , доступно определение локальной дзета-функции . Чтобы получить L-функцию для самого A, нужно взять подходящее эйлерово произведение таких локальных функций; чтобы понять конечное число множителей для «плохих» простых чисел, нужно обратиться к модулю Тейта A, который (двойственен) этальной группе когомологий H 1 (А) и действие на нем группы Галуа . Таким образом, можно получить достойное определение L-функции Хассе–Вейля для A. В общем, ее свойства, такие как функциональное уравнение , все еще являются гипотетическими - гипотеза Таниямы-Шимуры (которая была доказана в 2001 году) была всего лишь частным случаем, так что это вряд ли удивительно.
Именно в терминах этой L-функции гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера формулируется . Это лишь один особенно интересный аспект общей теории значений L-функций L( s ) при целочисленных значениях s , и существует множество эмпирических данных, подтверждающих его.
Комплексное умножение
[ редактировать ]Со времен Карла Фридриха Гаусса (знавшего случай лемнискатной функции ) была известна особая роль этих абелевых многообразий. с дополнительными автоморфизмами и, в более общем плане, эндоморфизмами. Что касается кольца , существует определение абелева многообразия CM-типа , выделяющего наиболее богатый класс. Они особенные в своей арифметике. Это проявляется в их L-функциях в довольно благоприятных терминах: требуемый гармонический анализ полностью относится к типу двойственности Понтрягина , а не требует более общих автоморфных представлений . Это отражает хорошее понимание их модулей Тейта как модулей Галуа . Это также усложняет их рассмотрение с точки зрения предположительной алгебраической геометрии ( гипотеза Ходжа и гипотеза Тейта ). В этих задачах особая ситуация более требовательна, чем общая.
В случае эллиптических кривых, « Кронекер Югендтраум» — это программа, предложенная Леопольдом Кронекером , для использования эллиптических кривых типа СМ для явного построения теории полей классов для мнимых квадратичных полей – так же, как корни из единицы позволяют делать это для эллиптических кривых. поле рациональных чисел. Это обобщает, но в некотором смысле с потерей явной информации (что типично для нескольких комплексных переменных ).
Гипотеза Манина – Мамфорда
[ редактировать ]Гипотеза Манина-Мамфорда Юрия Манина и Дэвида Мамфорда , доказанная Мишелем Рейно , [1] [2] что кривая C в своем якобиевом многообразии J может содержать только конечное число точек конечного порядка ( точка кручения ) в J , если только C = J. утверждает , Существуют и другие, более общие версии, такие как гипотеза Богомолова , которая обобщает это утверждение на точки некручения.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Рейно, Мишель (1983). «Sous-variétés d'une variété abélienne et point de torsion». Ин Артин, Майкл ; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И.Р. Шафаревичу к его шестидесятилетию. Том. Я: Арифметика . Прогресс в математике (на французском языке). Том. 35. Биркхойзер-Бостон. стр. 327–352. МР 0717600 . Збл 0581.14031 .
- ^ Росслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина-Мамфорда». Ван дер Гир, Джерард; Мунен, Бен; Шуф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля — два параллельных мира . Прогресс в математике. Том. 239. Биркхойзер. стр. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4 . МР 2176757 . Збл 1098.14030 .