Гипотеза Андре – Оорта

В математике гипотеза Андре-Оорта — это проблема диофантовой геометрии , раздела теории чисел , которую можно рассматривать как неабелев аналог гипотезы Манина-Мамфорда , которая теперь является теоремой (доказанной несколькими различными способами). . Гипотеза касается характеристики замыкания Зарисского множеств особых точек в многообразиях Шимуры . Особый случай гипотезы был сформулирован Ивом Андре в 1989 году. ^{[ 1 ]} а более общее утверждение (хотя и с ограничением на тип разновидности Шимура) было высказано Франсом Оортом в 1995 году. ^{[ 2 ]} Современная версия является естественным обобщением этих двух гипотез.

Заявление

Гипотеза в ее современной форме состоит в следующем. Каждая неприводимая компонента замыкания Зарисского множества особых точек многообразия Шимуры является специальным подмногообразием.

Первая версия гипотезы Андре относилась только к одномерным неприводимым компонентам, в то время как Оорт предположил, что она должна быть верной для неприводимых компонентов произвольной размерности в пространстве модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий размерности g . Похоже, что Андре руководствовался приложениями к теории трансцендентности, а Оорт — аналогией с методом Манина-Мамфорда. предположение.

Результаты

Различные результаты были получены в отношении полной гипотезы Беном Муненом, Ивом Андре , Андреем Яфаевым , Басом Эдиксховеном , Лораном Клозелем , Бруно Клинглером и Эммануэлем Ульмо , среди других. Некоторые из этих результатов были обусловлены обобщенной гипотезы Римана истинностью (GRH). Фактически, полное доказательство гипотезы GRH было опубликовано Бруно Клинглером, Эммануэлем Ульмо и Андреем Яфаевым в 2014 году в « Анналах математики» . ^{[ 3 ]} В 2006 году Умберто Заньер и Джонатан Пила использовали методы o-минимальной геометрии и теории трансцендентных чисел для разработки подхода к задачам типа Манина-Мамфорда-Андре-Оорта. В 2009 году Джонатан Пила безоговорочно доказал гипотезу Андре-Оорта для произвольных произведений модульных кривых : ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Результат, который принес ему премию Clay Research Award 2011 . ^{[ 6 ]}

Бруно Клинглер , Эммануэль Ульмо и Андрей Яфаев доказали в 2014 году результат функциональной трансцендентности, необходимый для общего подхода Пилы-Заньера, а Эммануэль Ульмо вывел из него технический результат, необходимый для этапа индукции в стратегии. Оставшимся техническим моментом была проблема ограничения особых точек ниже степеней Галуа. ^{[ нужна ссылка ]}

Для случая модулярного многообразия Зигеля эта оценка была выведена Джейкобом Цимерманом в 2015 году на основе усредненной гипотезы Колмеза и оценок изогении Массера-Вустгольца . Усредненная гипотеза Кольмеса была доказана Синьи Юанем и Шоу-У Чжаном, а также независимо Андреаттой, Гореном, Ховардом и Мадапуси-Пера. ^{[ 7 ]}

В 2019-2020 годах Галь Биниямини, Гарри Шмидт и Андрей Яфаев, опираясь на предыдущие работы и идеи Гарри Шмидта о точках кручения в торических и абелевых многообразиях, а также результаты счета точек Гала Биниямини, сформулировали гипотезу об границах высот особых точек и из ее справедливости вывел оценки степеней Галуа особых точек, необходимые для доказательства полной гипотезы Андре-Оорта. ^{[ нужна ссылка ]}

В сентябре 2021 года Джонатан Пила , Анант Шанкар и Якоб Цимерман заявили в статье (с приложением, написанным Элен Эсно и Майклом Грёхенигом) о доказательстве гипотезы о высоте Биниямини-Шмидта-Яфаева, завершив тем самым доказательство гипотезы Андре-Оорта. гипотеза с использованием стратегии Пилы-Заньера. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Гипотеза Коулмана – Оорта

Родственная гипотеза, имеющая две формы, эквивалентные, если предполагается гипотеза Андре – Оорта, – это гипотеза Коулмана – Оорта . Роберт Коулман предположил, что для достаточно больших g существует только конечное число гладких проективных кривых C рода g , таких, что якобианское многообразие J ( C ) является абелевым многообразием CM-типа . Затем Оорт предположил, что локус Торелли - пространства модулей абелевых многообразий размерности g - не имеет при достаточно больших g никакого специального подмногообразия размерности > 0, которое пересекало бы образ отображения Торелли в плотном открытом подмножестве. ^{[ 10 ]}

Обобщения

Гипотезы Манина-Мамфорда и Андре-Оорта можно обобщить во многих направлениях, например, ослабив свойства точек являются «особыми» (и вместо этого рассматривают так называемое «маловероятное локус») или рассматривают более общие объемлющие многообразия: абелевы или полуабелевы схемы, смешанные многообразия Шимуры и т. д. Эти обобщения в просторечии известны как гипотезы Зильбера – Пинка , потому что проблемы этого типа были предложены Ричардом Пинком. ^{[ 11 ]} и Борис Зильбер . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Большинство этих вопросов открыты и являются предметом текущих активных исследований.

См. также

Гипотеза Зильбера – Пинка

Ссылки

^ Андре, Ив (1989), G -функции и геометрия , Аспекты математики, том. Е13, Посмотретьег .
^ Оорт, Франс (1997), «Канонические подъемы и плотные множества точек CM», в Фабрицио Катанезе (ред.), Арифметическая геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
^ КЛИНГЛЕР, Бруно; Яфаев, Андрей (01 ноября 2014 г.). «Гипотеза Андре-Оорта» . Анналы математики : 867–925. arXiv : 1209.0936 . дои : 10.4007/анналы.2014.180.3.2 . ISSN 0003-486X .
^ Пила, Джонатан (2009), «Рациональные точки определимых множеств и результаты типа Андре – Оорта – Манина – Мамфорда», Int. Математика. Рез. Нет. IMRN (13): 2476–2507 .
^ Пила, Джонатан (2011), «О-минимальность и гипотеза Андре – Оорта для C ^н», Annals of Mathematics , 173 (3): 1779–1840, doi : 10.4007/annals.2011.173.3.11 .
↑ Веб-сайт премии Clay Research Award. Архивировано 26 июня 2011 г. в Wayback Machine.
^ «Февраль 2018». Уведомления Американского математического общества . 65 (2): 191. 2018. ISSN 1088-9477 .
^ Пила, Джонатан; Шанкар, Анант; Цимерман, Яков; Эно, Элен; Грехениг, Майкл (17 сентября 2021 г.). «Канонические высоты многообразий Шимуры и гипотеза Андре-Оорта». arXiv : 2109.08788 [ math.NT ].
^ Сломан, Лейла (3 февраля 2022 г.). «Математики доказали гипотезу Андре-Оорта 30-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 4 февраля 2022 г.
^ Карлсон, Джеймс; Мюллер-Штах, Стефан; Питерс, Крис (2017). Отображения периодов и домены периодов . Издательство Кембриджского университета. п. 285. ИСБН 9781108422628 .
^ Пинк, Ричард (2005), «Комбинация гипотез Морделла-Ланга и Андре-Оорта», Геометрические методы в алгебре и теории чисел , Progress in Mathematics, vol. 253, Биркхаузер, стр. 251–282 .
^ Зильбер, Борис (2002), «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля», J. London Math. Соц. , 65 (2): 27–44, doi : 10.1112/S0024610701002861 .
^ Ремонд, Гаэль (2009), «Вокруг гипотезы Зильбера – Пинка» , Ж. Теор. Номера Бордо (на французском языке), 21 (2): 405–414, doi : 10.5802/jtnb.677 .

Дальнейшее чтение

Заньер, Умберто (2012). «О гипотезе Андре – Оорта» . Некоторые задачи о маловероятных пересечениях в арифметике и геометрии . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 96–127. ISBN 978-0-691-15370-4 .
Яфаев, Андрей (2007), Бернс, Дэвид; Баззард, Кевин; Нековар, Ян (ред.), «Гипотеза Андре-Оорта — обзор» , L-функции и представления Галуа , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 381–406, doi : 10.1017/cbo9780511721267.011 , ISBN 978-0-511-72126-7

[1] Андре, Ив (1989), G -функции и геометрия , Аспекты математики, том. Е13, Посмотретьег .

[2] Оорт, Франс (1997), «Канонические подъемы и плотные множества точек CM», в Фабрицио Катанезе (ред.), Арифметическая геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета .

[3] КЛИНГЛЕР, Бруно; Яфаев, Андрей (01 ноября 2014 г.). «Гипотеза Андре-Оорта» . Анналы математики : 867–925. arXiv : 1209.0936 . дои : 10.4007/анналы.2014.180.3.2 . ISSN 0003-486X .

[4] Пила, Джонатан (2009), «Рациональные точки определимых множеств и результаты типа Андре – Оорта – Манина – Мамфорда», Int. Математика. Рез. Нет. IMRN (13): 2476–2507 .

[5] Пила, Джонатан (2011), «О-минимальность и гипотеза Андре – Оорта для C ^н», Annals of Mathematics , 173 (3): 1779–1840, doi : 10.4007/annals.2011.173.3.11 .

[6] Веб-сайт премии Clay Research Award. Архивировано 26 июня 2011 г. в Wayback Machine.

[7] «Февраль 2018». Уведомления Американского математического общества . 65 (2): 191. 2018. ISSN 1088-9477 .

[8] Пила, Джонатан; Шанкар, Анант; Цимерман, Яков; Эно, Элен; Грехениг, Майкл (17 сентября 2021 г.). «Канонические высоты многообразий Шимуры и гипотеза Андре-Оорта». arXiv : 2109.08788 [ math.NT ].

[9] Сломан, Лейла (3 февраля 2022 г.). «Математики доказали гипотезу Андре-Оорта 30-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 4 февраля 2022 г.

[10] Карлсон, Джеймс; Мюллер-Штах, Стефан; Питерс, Крис (2017). Отображения периодов и домены периодов . Издательство Кембриджского университета. п. 285. ИСБН 9781108422628 .

[11] Пинк, Ричард (2005), «Комбинация гипотез Морделла-Ланга и Андре-Оорта», Геометрические методы в алгебре и теории чисел , Progress in Mathematics, vol. 253, Биркхаузер, стр. 251–282 .

[12] Зильбер, Борис (2002), «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля», J. London Math. Соц. , 65 (2): 27–44, doi : 10.1112/S0024610701002861 .

[13] Ремонд, Гаэль (2009), «Вокруг гипотезы Зильбера – Пинка» , Ж. Теор. Номера Бордо (на французском языке), 21 (2): 405–414, doi : 10.5802/jtnb.677 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]