сорт Шимура

В теории чисел многообразие Шимуры — это многомерный аналог модулярной кривой , которая возникает как фактормногообразие эрмитова симметричного пространства по конгруэнц-подгруппе , редуктивной алгебраической группы над Q. определенной Многообразия Шимуры не являются алгебраическими многообразиями , а представляют собой семейства алгебраических многообразий. Кривые Шимуры — это одномерные многообразия Шимуры. Модульные поверхности Гильберта и модульные многообразия Зигеля являются одними из наиболее известных классов многообразий Шимуры.

Особые случаи многообразий Шимуры были первоначально введены Горо Шимурой в ходе его обобщения теории комплексного умножения . Шимура показал, что, хотя они изначально определены аналитически, они являются арифметическими объектами в том смысле, что допускают модели, определенные над числовым полем , рефлексным полем многообразия Шимуры. В 1970-е годы Пьер Делинь создал аксиоматическую основу для творчества Шимуры. В 1979 году Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между мотивными и автоморфными L -функциями, постулируемыми в программе Ленглендса можно проверить . Автоморфные формы, реализованные в когомологиях многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы; в частности, существует конструкция, присоединяющая к ним представления Галуа .

Определение

Дата Шимуры

Пусть S = Res _{C / R} G _m — ограничение Вейля мультипликативной группы с комплексных чисел на действительные числа . Это вещественная алгебраическая группа , группа R -точек которой S ( R ) равна C ^* и группа C -точек равна C ^* × C ^* . — Данные Шимуры это пара ( G , X ), состоящая из (связной) редуктивной алгебраической группы G, полем Q рациональных чисел , и G ( R ) -класса сопряженности X гомоморфизмов , h : S → GR _{определенной над} удовлетворяющих следующим условиям: аксиомы:

• Для любого h из X могут входить только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), в g _C т. е. комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму

${\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},$

где для любого z ∈ S функция h ( z ) действует тривиально на первое слагаемое и через $z/{\bar {z}}$ (соответственно, ${\bar {z}}/z$) по второму (соответственно третьему) слагаемому.

• Присоединенное действие h( i ) индуцирует инволюцию Картана на присоединенной группе G _R. группы
• Присоединенная группа к не _GR допускает фактора H, определенного над Q, такого, что проекция h на H тривиальна.

этих аксиом следует, что X имеет уникальную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязного) такую, что для любого представления ρ : GR _Из → GL ( V ) семейство ( V , ρ ⋅ h ) является голоморфным семейством Ходжа . структуры ; более того, она образует вариант структуры Ходжа, а X представляет собой конечное дизъюнктное объединение эрмитовых симметричных областей .

сорт Шимура

Пусть A _ƒ кольцо конечных аделей Q — . Для каждой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G ( A _ƒ ) двойное смежное пространство

$\operatorname {Sh} _{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K$

есть конечное дизъюнктное объединение локально симметричных многообразий вида $\Gamma _{i}\backslash X^{+}$, где верхний индекс «плюс» указывает на связный компонент . Многообразия Sh _K ( G , X являются комплексными алгебраическими многообразиями и образуют обратную систему над всеми достаточно малыми компактными открытыми подгруппами K. ) Эта обратная система

$(\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}$

допускает естественное правое действие группы G ( A _ƒ ). Оно называется многообразием Шимуры , связанным с базой данных Шимуры ( G , X ) и обозначается Sh( G , X ).

История

Для специальных типов эрмитовых симметричных областей и конгруэнц-подгрупп Γ алгебраические многообразия вида Γ \ X = Sh _K ( G , X ) и их компактификации были введены в серии статей Горо Шимуры в 1960-х годах. Подход Шимуры, позже представленный в его монографии, был в значительной степени феноменологическим, преследующим самые широкие обобщения формулировки закона взаимности сложной теории умножения . Оглядываясь назад, можно сказать, что название «разновидность Шимуры» было введено Делинем , который приступил к выделению абстрактных особенностей, которые играли роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры представляют собой пространства параметров определенных типов структур Ходжа . Таким образом, они образуют естественное многомерное обобщение модулярных кривых, рассматриваемых как пространства модулей эллиптических кривых со структурой уровней. Во многих случаях также были идентифицированы проблемы модулей, решениями которых являются многообразия Шимуры.

Примеры

Пусть F — вполне вещественное числовое поле, D алгебра кватернионов — над F. а Мультипликативная группа D ^× дает начало канонической разновидности Шимуры. Его размерность d — это количество бесконечных мест, по которым D. распадается В частности, если d = 1 (например, если F = Q и D ⊗ R ≅ M ₂ ( R )), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу в D ^× , получается кривая Шимуры, а кривые, возникающие в результате этой конструкции, уже компактны (т.е. проективны ).

Некоторыми примерами кривых Шимуры с явно известными уравнениями являются кривые Гурвица низкого рода:

• Малая квартика (род 3)
• Поверхность Макбета (род 7)
• Первая тройка Гурвица (род 14)

и кривой Ферма 7-й степени.

Другие примеры многообразий Шимуры включают модульные поверхности Пикара и модульные поверхности Гильберта , также известные как многообразия Гильберта – Блюменталя.

Канонические модели и особые точки

Каждое многообразие Шимуры может быть определено над каноническим числовым полем E, называемым рефлексным полем . Этот важный результат Шимуры показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое поле определения и, следовательно, арифметическое значение. Оно образует отправную точку в его формулировке закона взаимности, где важную роль играют некоторые арифметически определенные специальные точки .

Качественная природа замыкания Зарисского множеств особых точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре–Оорта . По этой гипотезе получены условные результаты в предположении обобщенной гипотезы Римана .

Роль в программе Ленглендса

Сорта Шимура играют выдающуюся роль в программе Ленглендса . Прототипическая теорема, конгруэнтное отношение Эйхлера-Шимуры , подразумевает, что дзета-функция Хассе-Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, связанных с явно определенными модулярными формами веса 2. Действительно, это было в процессе обобщения Благодаря этой теореме Горо Шимура ввел свои многообразия и доказал свой закон взаимности. Дзета-функции многообразий Шимуры, связанных с группой GL ₂ над другими числовыми полями, и ее внутренние формы (т.е. мультипликативные группы алгебр кватернионов) изучались Эйхлером, Шимурой, Кугой, Сато и Ихара. На основе своих результатов Роберт Ленглендс сделал предсказание, что дзета-функция Хассе-Вейля любого алгебраического многообразия W, определенного над числовым полем, будет произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, т. е. она должна возникать из совокупность автоморфных представлений . Как бы ни было философски естественно ожидать такого описания, утверждения такого типа были доказаны только тогда, когда W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

Показать, что все L-функции, связанные с многообразиями Шимуры – то есть с любым мотивом, определяемым многообразием Шимуры – можно выразить через автоморфные L-функции из [его статьи 1970 г.], слабее, даже намного слабее, чем покажите, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Более того, хотя ожидается, что более сильное утверждение будет справедливым, насколько мне известно, нет убедительных оснований ожидать, что все мотивные L-функции будут присоединены к многообразиям Шимуры.

Ссылки

• Альсина, Монтсеррат; Байер, Пилар (2004), Порядки кватернионов, квадратичные формы и кривые Шимуры , Серия монографий CRM, том. 22, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-3359-6 , Збл   1073.11040
• Джеймс Артур, Дэвид Эллвуд и Роберт Котвиц (редактор) Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры , Clay Mathematics Proceedings, том 4, AMS, 2005 ISBN   978-0-8218-3844-0
• Пьер Делинь, Работы Шимуры. Семинар Бурбаки, 23-й год (1970/71), эксп. № 389, с. 123–165. Конспекты лекций по математике, Vol. 244, Шпрингер, Берлин, 1971 г. MR 0498581 , Нумдам
• Пьер Делинь, Разновидности Шимуры: модульная интерпретация и методы построения канонических моделей, в автоморфных формах, представлениях и L-функциях , Proc. Симпозиумы. Pure Math., XXXIII (Корваллис, Орегон, 1977), часть 2, стр. 247–289, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1979. MR. 0546620
• Пьер Делинь, Джеймс С. Милн, Артур Огус , Куанг-йен Ши, циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры. Конспекты лекций по математике, 900. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ii+414 стр. ISBN   3-540-11174-3 МР 0654325
• Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 35, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-66066-2 , MR   1722410 , Zbl   0941.00006 , издание в мягкой обложке издательства Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Прочтите это: Восьмеричный путь, рецензия Рут Михлер .
• Милн, Дж. С. (2001) [1994], «Разновидность Шимуры» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Дж. Милн, Разновидности и мотивы Шимуры , У. Яннсен, С. Клейман. Ж.-П. Серр (ред.), Мотивы , Учеб. Симп. Чистая математика, 55:2, амер. Математика. Соц. (1994), стр. 447–523.
• Дж. С. Милн , Знакомство с сортами Шимура , в книге Артура, Эллвуда и Котвитца (2005 г.)
• Гарри Рейманн, Полупростая дзета-функция кватернионных многообразий Шимуры , Конспект лекций по математике, 1657 г., Springer, 1997 г.
• Горо Шимура, Собрание сочинений Горо Шимуры (2003), том 1–5
• Горо Шимура Введение в арифметическую теорию автоморфных функций