поверхность Гурвица

В римановых поверхностей теории и гиперболической геометрии поверхность Гурвица , названная в честь Адольфа Гурвица , представляет собой компактную риманову поверхность с ровно 84 ( g − 1) автоморфизмами, где g — род поверхности. Это число максимально в силу теоремы Гурвица об автоморфизмах ( Гурвиц, 1893 ). Их также называют кривыми Гурвица , интерпретируя их как комплексные алгебраические кривые (комплексная размерность 1 = действительная размерность 2).

Фуксова группа поверхности Гурвица — это конечного индекса нормальная подгруппа без кручения (обычной) (2,3,7) группы треугольников . Конечная факторгруппа - это в точности группа автоморфизмов.

Автоморфизмы комплексных алгебраических кривых — это сохраняющие ориентацию автоморфизмы базовой вещественной поверхности; если допустить изометрии, меняющие ориентацию , это дает группу в два раза большую, порядка 168 ( g - 1), что иногда представляет интерес.

Примечание по терминологии – в этом и других контекстах чаще всего подразумевается «группа треугольников (2,3,7), а не полная группа треугольников Δ(2,3,7) ( группа Коксетера с треугольником Шварца (2 ,3,7) или реализацию как гиперболическую группу отражений ), а к обычной группе треугольников ( группа фон Дейка ) D (2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращения), которая является индексом 2. Группа комплексных автоморфизмов является фактором обычной ( сохраняющей ориентацию) группы треугольников, а группа изометрий (возможно, меняющих ориентацию) является фактором полной группы треугольников.

Классификация по роду

В каждом роде встречается только конечное число поверхностей Гурвица. Функция $h(g)$ отображение рода на количество поверхностей Гурвица с этим родом неограничено, даже если большинство его значений равны нулю. Сумма

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {h(g)}{g^{s}}}

сходится для $s>1/3$ , подразумевая в приблизительном смысле, что род $n$ Поверхность Гурвица растет, по крайней мере, как кубическая функция $n$ ( Кухарчик 2014 ).

Поверхность Гурвица наименьшего рода - это квартика Клейна рода 3 с группой автоморфизмов - проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 84(3 - 1) = 168 = 2. ³·3·7 — простая группа ; (или порядка 336, если разрешены изометрии, меняющие ориентацию). Следующий возможный род - 7, принадлежащий поверхности Макбита с группой автоморфизмов PSL(2,8), которая представляет собой простую группу порядка 84(7 - 1) = 504 = 2. ³·3 ²·7; если включить изометрии, меняющие ориентацию, группа будет иметь порядок 1008.

Интересное явление возникает в следующем возможном роде, а именно 14. Здесь имеется тройка различных римановых поверхностей с одинаковой группой автоморфизмов (порядка 84(14 − 1) = 1092 = 2 ²·3·7·13). Объяснение этому явлению — арифметическое. А именно, в кольце целых чисел соответствующего числового поля рациональное простое число 13 распадается как произведение трёх различных простых идеалов . Главные конгруэнтные подгруппы, определенные тройкой простых чисел, образуют фуксовы группы, соответствующие первой тройке Гурвица .

Последовательность допустимых значений рода поверхности Гурвица начинается

3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, ... (последовательность A179982 в OEIS )

См. также

Порядок кватернионов Гурвица

Ссылки

Элкис, Н.: Вычисления кривой Шимуры. Алгоритмическая теория чисел (Портленд, Орегон, 1998), 1–47, Конспекты лекций по информатике, 1423, Springer, Берлин, 1998. См. arXiv : math.NT/0005160.
Гурвиц, А. (1893). «Об алгебраических структурах с уникальными преобразованиями внутри них». Математические летописи . 41 (3): 403–442. дои : 10.1007/BF01443420 . S2CID 122202414 .
Кац, М .; Шапс, М.; Вишне, У.: Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп. Дж. Дифференциальная геометрия. 76 (2007), вып. 3, 399–422. Доступно на arXiv : math.DG/0505007.
Кучарчик, Роберт А. (2014). Действие Галуа на кривых Гурвица . arXiv : 1401.6471 .
Сингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003). «Риманова поверхность однородной конструкции» . Вклад в алгебру и геометрию . 44 (2): 413–430.