Теорема AF+BG
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Октябрь 2019 г. ) |
В алгебраической геометрии теорема AF+BG (также известная как фундаментальная теорема Макса Нётера ) является результатом Макса Нётера , который утверждает, что, если уравнение алгебраической кривой в комплексной проективной плоскости локально (в каждой точке пересечения) принадлежит идеалу порожденный уравнениями двух других алгебраических кривых, то он глобально принадлежит этому идеалу.
Заявление
[ редактировать ]Пусть F , G и H — однородные многочлены от трех переменных, при этом H имеет более высокую степень, чем F и G ; пусть a = deg H − deg F и b = deg H − deg G (оба целые положительные числа) — разности степеней многочленов. Предположим, что общий делитель F наибольший и G является константой, а это означает, что проективные кривые , которые они определяют в проективной плоскости имеют пересечение, состоящее из конечного числа точек. Для каждой точки P многочлены F и G порождают идеал ( F , G ) P локального кольца этого пересечения в точке P (это локальное кольцо является кольцом дробей где n и d — полиномы от трёх переменных и d ( P ) ≠ 0 ). Теорема утверждает, что если H лежит в ( F , G ) P для каждой точки пересечения P , то H лежит в идеале ( F , G ) ; то есть существуют однородные многочлены A и B степеней a и b соответственно такие, что H = AF + BG . Более того, любые два варианта выбора A отличаются кратным G и аналогичным образом любые два варианта B отличаются кратным F. ,
Связанные результаты
[ редактировать ]Эту теорему можно рассматривать как обобщение тождества Безу , которое обеспечивает условие, при котором целое число или одномерный многочлен h может быть выражено как элемент идеала , порожденного двумя другими целыми числами или одномерными многочленами f и g : такое представление существует. именно тогда, когда кратно наибольшему общему делителю f h и g . Условие AF+BG выражает через дивизоры (наборы точек с кратностями) аналогичное условие, при котором однородный многочлен H от трех переменных может быть записан как элемент идеала, порожденный двумя другими многочленами F и G .
Эта теорема также является для этого конкретного случая уточнением Nullstellensatz Гильберта , которое обеспечивает условие, выражающее, что некоторая степень многочлена h (от любого числа переменных) принадлежит идеалу, порожденному конечным набором многочленов.
Ссылки
[ редактировать ]- Фултон, Уильям (2008), «5.5 Фундаментальная теорема Макса Нётер и 5.6 Применение теоремы Нётер», Алгебраические кривые: введение в алгебраическую геометрию (PDF) , стр. 60–65 .
- Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9 .