Гипотеза Нагаты о кривых

О гипотезе о диких автоморфизмах см. гипотезу Нагаты .

В математике гипотеза Нагаты о кривых, названная в честь Масаеси Нагаты , определяет минимальную степень, необходимую для прохождения плоской алгебраической кривой через набор очень общих точек с предписанными кратностями .

История

Нагата пришел к этой гипотезе, работая над 14-й проблемой Гильберта , которая спрашивает, является ли инвариантное кольцо действия линейной группы на кольце полиномов k [ x ₁ ,..., x _n ] над некоторым полем k порожденным конечно . Нагата опубликовал свою гипотезу в статье 1959 года в Американском журнале математики , в которой он представил контрпример к 14-й проблеме Гильберта.

Заявление

Гипотеза Нагаты. Предположим, что p ₁ , ..., p _r — очень общие точки в P ² и что m ₁ , ..., m _r — положительные целые числа. Тогда при r > 9 любая кривая C из P ² которая проходит через каждую из точек pi _должна с кратностью m _i, удовлетворять

$\deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.$

Условие r > 9 необходимо: случаи r 9 и r ≤ 9 отличаются тем, существует ли антиканоническое расслоение на раздутии P > ² при наборе из r точек является эффективным . В случае r ⩽ 9 теорема о конусе по существу дает полное описание конуса кривых раздутия плоскости.

Текущий статус

Единственный случай, когда это справедливо, — это когда r — полный квадрат, что было доказано Нагатой . Несмотря на большой интерес, остальные дела остаются открытыми. Более современная формулировка этой гипотезы часто дается в терминах констант Сешадри и обобщается на другие поверхности под названием гипотезы Нагаты-Бирана .

Ссылки

• Харборн, Брайан (2001), «О гипотезе Нагаты», Journal of Algebra , 236 (2): 692–702, arXiv : math/9909093 , doi : 10.1006/jabr.2000.8515 , MR   1813496 .
• Нагата, Масаеши (1959), «О 14-й проблеме Гильберта», American Journal of Mathematics , 81 (3): 766–772, doi : 10.2307/2372927 , JSTOR   2372927 , MR   0105409 .
• Стрихарц-Шемберг, Беата; Земберг, Томаш (2004), «Замечания по гипотезе Нагаты», Serdica Mathematical Journal , 30 (2–3): 405–430, hdl : 10525/1746 , MR   2098342 .