Конус кривых

В математике — конус кривых (иногда конус Клеймана-Мори ) алгебраического многообразия . $X$ является комбинаторным инвариантом , важным для бирациональной геометрии $X$.

Определение

Позволять $X$ быть подходящим сортом. По определению (действительный) 1-цикл на $X$ является формальной линейной комбинацией $C=\sum a_{i}C_{i}$ неприводимых, приведенных и собственных кривых $C_{i}$, с коэффициентами $a_{i}\in \mathbb {R}$. Численная эквивалентность 1-циклов определяется пересечениями: двух 1-циклов $C$ и $C'$ численно эквивалентны, если $C\cdot D=C'\cdot D$ для каждого делителя Картье $D$ на $X$. Обозначим вещественное векторное пространство 1-циклов по модулю числовой эквивалентности через $N_{1}(X)$.

Определим кривых конус $X$ быть

$NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}$

где $C_{i}$ являются неприводимыми, приведенными, собственными кривыми на $X$, и $[C_{i}]$ их занятия в $N_{1}(X)$. Нетрудно это увидеть $NE(X)$ действительно является выпуклым конусом в смысле выпуклой геометрии.

Приложения

Одним из полезных применений понятия конуса кривых является Клеймана условие , которое гласит, что дивизор (Картье) $D$ на полном разнообразии $X$ достаточно когда тогда и только тогда, $D\cdot x>0$ для любого ненулевого элемента $x$ в ${\overline {NE(X)}}$, замыкание конуса кривых в обычной вещественной топологии. (В общем, $NE(X)$ не обязательно закрывать, поэтому здесь важно сделать замыкание.)

Более сложный пример — роль конуса кривых в теории минимальных моделей алгебраических многообразий. Вкратце, цель этой теории такова: для данного (мягко сингулярного) проективного многообразия $X$, найдите (слегка единственное) разнообразие $X'$ что бирационально ​ $X$, и чей канонический делитель $K_{X'}$ это хорошо . Великим прорывом начала 1980-х годов (благодаря Мори и другим) было построение (по крайней мере, с моральной точки зрения) необходимой бирациональной карты из $X$ к $X'$ как последовательность шагов, каждый из которых можно рассматривать как сокращение $K_{X}$-отрицательный экстремальный луч $NE(X)$. Однако этот процесс сталкивается с трудностями, разрешение которых требует введения флипа .

Структурная теорема

Описанный выше процесс сжатия не мог бы происходить без фундаментального результата о строении конуса кривых, известного как теорема о конусе . Первая версия этой теоремы для гладких многообразий принадлежит Мори ; позже он был обобщен на более широкий класс разновидностей Каваматой , Колларом , Ридом , Шокуровым и другими. Версия теоремы Мори выглядит следующим образом:

Теорема о конусе. Позволять $X$ быть гладким проективным многообразием . Затем

1. счетно много . Рациональных кривых $C_{i}$ на $X$, удовлетворяя $0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1$, и

${\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].$

2. Для любого положительного действительного числа $\epsilon$ и любой обильный делитель $H$,

${\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],$

где сумма в последнем члене конечна.

Первое утверждение гласит, что в полупространстве замкнутом $N_{1}(X)$ где пересечение с $K_{X}$ неотрицательен, мы ничего не знаем, но в дополнительном полупространстве конус натянут на некоторый счетный набор кривых, которые совершенно особенные: они рациональны , и их «степень» очень жестко ограничена размерностью $X$. Второе утверждение говорит нам больше: оно говорит, что вдали от гиперплоскости $\{C:K_{X}\cdot C=0\}$, крайние лучи конуса не могут накапливаться. Когда $X$ это сорт Фано, ${\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}=0$ потому что $-K_{X}$ достаточно. Итак, теорема о конусах показывает, что конус кривых многообразия Фано порождается рациональными кривыми.

Если, кроме того, разновидность $X$ определено над полем характеристики 0, мы имеем следующее утверждение, иногда называемое теоремой о сжатии :

3. Пусть $F\subset {\overline {NE(X)}}$ — экстремальная грань конуса кривых, на которой $K_{X}$ является отрицательным. Тогда существует единственный морфизм $\operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z$ к проективному многообразию Z , такому, что $(\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}$ и неприводимая кривая $C$ в $X$ отображается в точку с помощью $\operatorname {cont} _{F}$ тогда и только тогда, когда $[C]\in F$.(См. также: Контрактивный морфизм ).

Ссылки

• Лазарсфельд Р., Позитивность в алгебраической геометрии I , Springer-Verlag, 2004. ISBN   3-540-22533-1
• Коллар Дж. и Мори С., Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press, 1998. ISBN   0-521-63277-3