Полупространство (геометрия)

В геометрии полупространство — это одна из двух частей, на которые плоскость делит трёхмерное евклидово пространство . Если пространство двумерно , то полупространство называется полуплоскостью ( открытой или замкнутой). Полупространство в одномерном пространстве называется полупрямой или лучом .

В более общем смысле полупространство — это одна из двух частей, на которые гиперплоскость делит аффинное пространство . То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разбиваются на два выпуклых множества (т. е. полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном наборе с точкой в другом, должно пересекать гиперплоскость.

Полупространство может быть открытым или закрытым . Открытое полупространство — это одно из двух открытых множеств, возникающих в результате вычитания гиперплоскости из аффинного пространства. Замкнутое полупространство — это объединение открытого полупространства и определяющей его гиперплоскости.

Открытое (закрытое) верхнее полупространство — это полупространство всех ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) таких, что x _n > 0 (≥ 0). Открытое (закрытое) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы x _n было отрицательным (неположительным).

Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученным из линейного уравнения , определяющего определяющую гиперплоскость.Строгое линейное неравенство задает открытое полупространство:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b

Нестрогий определяет замкнутое полупространство:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b

Здесь предполагается, что не все действительные числа a ₁ , a ₂ , ..., a _n равны нулю.

Полупространство — это выпуклое множество .

См. также

Полусфера (геометрия)
Линия (геометрия)
Модель полуплоскости Пуанкаре
Верхнее полупространство Зигеля
Nef многоугольник , построение многогранников с использованием полупространств.

Внешние ссылки