Пять точек определяют конику

В евклидовой и проективной геометрии пять точек определяют конику (плоскую кривую степени 2), точно так же, как две (отдельные) точки определяют линию степени 1 ( плоскую кривую ). существуют дополнительные тонкости Для коник , которых нет для прямых, и поэтому утверждение и его доказательство для коник являются более техническими, чем для прямых.

Формально, если любые пять точек плоскости находятся в общем линейном положении , то есть нет трех коллинеарных , то через них проходит единственная коника, которая будет невырожденной ; это верно как для евклидовой плоскости , так и для любой папповской проективной плоскости . Действительно, через любые пять точек проходит коника, но если три точки лежат на одной прямой, коника будет вырожденной (приводимой, поскольку содержит прямую) и может быть не единственной; смотрите дальнейшее обсуждение .

Доказательства

Этот результат можно доказать множеством разных способов; Аргумент о подсчете размерностей является наиболее прямым и обобщает в более высокой степени, в то время как другие доказательства относятся только к коникам.

Подсчет размеров

Интуитивно понятно, что прохождение через пять точек в общем линейном положении задает пять независимых линейных ограничений на (проективное) линейное пространство коник и, следовательно, задает уникальную конику, хотя это краткое утверждение игнорирует тонкости.

Точнее, это выглядит следующим образом:

• коники соответствуют точкам в пятимерном проективном пространстве. $\mathbf {P} ^{5};$
• требование прохождения коники через точку накладывает линейное условие на координаты: при фиксированном $(x,y),$ уравнение $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ представляет собой линейное уравнение относительно $(A,B,C,D,E,F);$
• при подсчете измерений для определения коники необходимы пять ограничений (что кривая проходит через пять точек), поскольку каждое ограничение сокращает размерность возможностей на 1, а одно начинается с 5 измерений;
• в 5 измерениях пересечение 5 (независимых) гиперплоскостей представляет собой одну точку (формально, по теореме Безу );
• общее линейное положение точек означает, что ограничения независимы и, таким образом, задают уникальную конику;
• результирующая коника невырождена, поскольку она представляет собой кривую (поскольку она имеет более 1 точки) и не содержит линий (в противном случае она разделилась бы на две линии, по крайней мере одна из которых должна содержать 3 из 5 точек, по принципу «ячейки» ), поэтому оно неприводимо.

Две тонкости приведенного выше анализа заключаются в том, что результирующая точка представляет собой квадратное уравнение (а не линейное уравнение) и что ограничения независимы. Первое просто: если A , B и C исчезают, то уравнение $Dx+Ey+F=0$ определяет линию, и любые 3 точки на ней (фактически любое количество точек) лежат на линии - таким образом, общее линейное положение обеспечивает конику. Второе, что ограничения независимы, значительно тоньше: оно соответствует тому факту, что для данных пяти точек, находящихся в общем линейном положении на плоскости, их изображения в $\mathbf {P} ^{5}$ под картой Веронезе находятся в общем линейном положении, что верно, поскольку карта Веронезе бирегулярна : т. е. если изображение пяти точек удовлетворяет отношению, то это отношение можно вернуть назад, и исходные точки также должны удовлетворять отношению. На карте Веронезе есть координаты. $[x^{2}:xy:y^{2}:xz:yz:z^{2}],$ и цель $\mathbf {P} ^{5}$ является двойственным к $[A:B:C:D:E:F]$ $\mathbf {P} ^{5}$ из коник. Отображение Веронезе соответствует «вычислению коники в точке», а утверждение о независимости ограничений является в точности геометрическим утверждением об этом отображении.

Синтетическое доказательство

То, что пять точек определяют конику, может быть доказано синтетической геометрией , т. е. в терминах прямых и точек на плоскости, в дополнение к приведенному выше аналитическому (алгебраическому) доказательству. Такое доказательство можно дать, используя теорему Якоба Штайнера : в котором говорится:

Учитывая проективное преобразование f, между пучком прямых, проходящих через точку X , и пучком прямых, проходящих через точку Y, множество C точек пересечения между прямой x и ее изображением $f(x)$ образует конику.

Обратите внимание, что X и Y находятся на этой конике, если принять во внимание прообраз и образ прямой XY (которая соответственно является линией, проходящей через X , и линией, проходящей через Y ).

Это можно показать, приведя точки X и Y к стандартным точкам. $[1:0:0]$ и $[0:1:0]$ проективным преобразованием, при этом пучки прямых соответствуют горизонтальным и вертикальным прямым на плоскости, а пересечения соответствующих прямых - графику функции, которая (необходимо показать) является гиперболой, следовательно, коникой, следовательно, исходная кривая C является коникой.

Теперь, учитывая пять точек X, Y, A, B, C, три линии $XA,XB,XC$ можно отнести к трем строкам $YA,YB,YC$ единственным проективным преобразованием, поскольку проективные преобразования просто 3-транзитивны на прямых (они просто 3-транзитивны в точках, следовательно, в силу проективной двойственности они 3-транзитивны на прямых). При этом отображении X отображается в Y, поскольку это уникальные точки пересечения этих прямых и, таким образом, удовлетворяют условиям теоремы Штейнера. Таким образом, полученная коника содержит все пять точек и, как и хотелось, является единственной такой коникой.

Построение параболы по пяти точкам

Строительство

По пяти точкам можно различными способами построить содержащую их конику.

Аналитически, учитывая координаты $(x_{i},y_{i})_{i=1,2,3,4,5}$ из пяти точек уравнение для коники можно найти с помощью линейной алгебры , написав и решив пять уравнений в коэффициентах, заменив переменные значениями координат: пять уравнений, шесть неизвестных, но однородных, поэтому масштабирование удаляет одну измерение; конкретно, это достигается установкой одного из коэффициентов на 1.

Этого можно добиться совершенно напрямую с помощью следующего детерминантного уравнения:

$\det {\begin{bmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1\end{bmatrix}}=0$

Эта матрица имеет переменные в первой строке и числа во всех остальных строках, поэтому определитель явно представляет собой линейную комбинацию шести мономов степени не выше 2. Кроме того, полученный многочлен явно обращается в нуль в пяти входных точках (когда $(x,y)=(x_{i},y_{i})$), так как матрица имеет повторяющуюся строку.

Синтетически конику можно построить с помощью Строительство Брайкенриджа – Маклорена , путем применения теоремы Брайкенриджа-Маклорена , которая является обратной теореме Паскаля . Теорема Паскаля утверждает, что при наличии 6 точек на конике (шестиугольнике) линии, определяемые противоположными сторонами, пересекаются в трех коллинеарных точках. Это можно изменить, чтобы построить возможные местоположения для 6-й точки, учитывая 5 существующих.

Обобщения

Естественным обобщением является вопрос о том, какое значение k конфигурация k точек (в общем положении) в n -пространстве определяет многообразие степени d и размерности m , что является фундаментальным вопросом в перечислительной геометрии .

Простым случаем этого является гиперповерхность ( подмногообразие коразмерности 1, нули одного многочлена, случай $m=n-1$), примером которых являются плоские кривые.

В случае гиперповерхности ответ дается в терминах коэффициента мультимножества , более привычного биномиального коэффициента или, более элегантно, возрастающего факториала , как:

$k=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1.$

Это происходит посредством аналогичного анализа отображения Веронезе : k точек в общем положении налагают k независимых линейных условий на многообразие (поскольку отображение Веронезе бирегулярно), а количество мономов степени d в $n+1$ переменные ( n -мерное проективное пространство имеет $n+1$ однородные координаты) $\textstyle {\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)},$ из которого вычитается 1 из-за проективизации: умножение многочлена на константу не меняет его нули.

В приведенной выше формуле количество точек k представляет собой полином от d степени n со старшим коэффициентом $1/n!$

В случае плоских кривых, где $n=2,$ формула становится:

$\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)-1=\textstyle {\frac {1}{2}}(d^{2}+3d)$

чьи значения для $d=0,1,2,3,4$ являются $0,2,5,9,14$ – кривых степени 0 нет (одна точка является точкой и, таким образом, определяется точкой коразмерности 2), 2 точки определяют линию, 5 точек определяют конику, 9 точек определяют кубику, 14 точек определяют квартика и так далее.

Связанные результаты

Хотя пять точек определяют конику, наборы из шести или более точек на конике не находятся в общем положении, то есть они ограничены, как показано в теореме Паскаля .

Точно так же, хотя девять точек определяют кубик, если девять точек лежат более чем на одном кубике (т. е. они являются пересечением двух кубиков), тогда они не находятся в общем положении и действительно удовлетворяют ограничению сложения, как указано в законе Кэли. – Теорема Бахараха .

Четыре точки определяют не конику, а скорее карандаш , одномерную линейную систему коник , которые все проходят через четыре точки (формально, имеют четыре точки в качестве базового локуса ). Аналогично, три точки определяют 2-мерную линейную систему (сеть), две точки определяют 3-мерную линейную систему (ткань), одна точка определяет 4-мерную линейную систему, а нулевые точки не накладывают ограничений на 5-мерную линейную систему. система всех коник.

Аполлоновы круги — это два однопараметрических семейства, определяемые двумя точками.

Как хорошо известно, три неколлинеарные точки определяют круг в евклидовой геометрии, а две различные точки определяют пучок окружностей, таких как аполлоновы круги . Эти результаты, кажется, противоречат общему результату, поскольку круги являются частным случаем коник. Однако в папповской проективной плоскости коника является окружностью, только если она проходит через две конкретные точки на бесконечной прямой , поэтому окружность определяется пятью неколлинеарными точками, тремя в аффинной плоскости и этими двумя особыми точками. Подобные соображения объясняют меньшее, чем ожидалось, количество точек, необходимых для определения пучков окружностей.

касание

Вместо прохождения через точки другое условие на кривой - касание к данной линии. Касательность к пяти заданным прямым также определяет конику в силу проективной двойственности , но с алгебраической точки зрения касание к прямой является квадратичным ограничением, поэтому наивный подсчет размерностей дает 2 ⁵ = 32 коники, касающиеся пяти данных прямых, из которых 31 должна быть приписана вырожденным коникам, как описано в вымышленных факторах в перечислительной геометрии ; формализация этой интуиции требует значительного дальнейшего развития для обоснования.

Другая классическая задача перечислительной геометрии, аналогичная конической задаче, — это задача Аполлония : окружность, касающаяся трех окружностей, вообще определяет восемь окружностей, поскольку каждая из них представляет собой квадратичное условие и 2 ³ = 8. Как вопрос в реальной геометрии, полный анализ включает в себя множество особых случаев, и фактическое количество кругов может быть любым числом от 0 до 8, кроме 7.

См. также

• Теорема Крамера (алгебраические кривые) для обобщения на n -й степени. плоские кривые

Ссылки

• Коксетер, HSM (1961), Введение в геометрию , Вашингтон, округ Колумбия. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Коксетер, HSM ; Грейтцер, С.Л. (1967), «Возвращение к геометрии» , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. 76
• Диксон, AC (март 1908 г.), «Коника через пять заданных точек» , The Mathematical Gazette , 4 (70), The Mathematical Association: 228–230, doi : 10.2307/3605147 , JSTOR   3605147 , S2CID   125356690

Внешние ссылки

• Пять точек определяют коническое сечение , интерактивная демонстрация Wolfram