Арифметическая группа

В математике арифметическая группа — это группа, полученная как целые точки алгебраической группы , например $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$ Они естественным образом возникают при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических вопросов теории чисел . Они также дают начало очень интересным примерам римановых многообразий и, следовательно, являются объектами интереса в дифференциальной геометрии и топологии . Наконец, эти две темы объединяются в теории автоморфных форм , которая является фундаментальной в современной теории чисел.

История

Одним из истоков математической теории арифметических групп является алгебраическая теория чисел. Классическую теорию редукции квадратичных и эрмитовых форм Чарльза Эрмита , Германа Минковского и других можно рассматривать как вычисление фундаментальных областей действия определенных арифметических групп на соответствующих симметричных пространствах . Тема была связана с геометрией чисел Минковского и ранним развитием изучения арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант . Арифметические группы можно рассматривать как обширное обобщение групп единиц числовых полей до некоммутативной ситуации.

Эти же группы появились и в аналитической теории чисел по мере развития изучения классических модулярных форм и их обобщений. Конечно, эти две темы были связаны, как можно видеть, например, в расчете Ленглендсом объема некоторых фундаментальных областей с использованием аналитических методов. Кульминацией этой классической теории стала работа Зигеля, который во многих случаях показал конечность объема фундаментальной области.

Для начала современной теории была необходима фундаментальная работа, и она была обеспечена работами Армана Бореля , Андре Вейля , Жака Титса и других по алгебраическим группам. Вскоре после этого конечность кообъема была в полной общности доказана Борелем и Хариш-Чандрой . Тем временем наблюдался прогресс по общей теории решеток в группах Ли Атле Сельбергом , Григорием Маргулисом , Давидом Кажданом , М. С. Рагунатаном и другими. Состояние дел после этого периода было по существу зафиксировано в трактате Рагунатана, опубликованном в 1972 году.

В семидесятых годах Маргулис произвел революцию в этой теме, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические конструкции объясняют все решетки в данной группе Ли. Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Сельбергом, но методы Маргулиса (использование эргодико-теоретических инструментов для действий на однородных пространствах) были совершенно новыми в этом контексте и должны были оказать чрезвычайное влияние на последующие разработки, эффективно обновив старый предмет геометрии чисел и возможность самому Маргулису доказать гипотезу Оппенгейма ; более сильные результаты ( теоремы Ратнера ) были позже получены Мариной Ратнер .

В другом направлении классическая тема модулярных форм переросла в современную теорию автоморфных форм. Движущей силой этих усилий является главным образом программа Ленглендса, инициированная Робертом Ленглендсом . Одним из основных используемых там инструментов является формула трассировки , взятая из работы Сельберга. и развит в самом общем виде Джеймсом Артуром .

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричных римановых многообразий. Особенно активной темой исследований были арифметические гиперболические трехмерные многообразия , которые, как Уильям Терстон : писал «...часто кажется, что они обладают особой красотой».

Определение и конструкция

Арифметические группы

Если $\mathrm {G}$ является алгебраической подгруппой $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ для некоторых $n$ тогда мы можем определить арифметическую подгруппу группы $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ как группа целочисленных точек $\Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).$ В общем, не так очевидно, как точно понять понятие «целых точек» $\mathbb {Q}$-группа, и определенная выше подгруппа может меняться, когда мы берем разные вложения $\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).$

Таким образом, лучше всего взять за определение арифметической подгруппы $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ любая группа $\Lambda$ что соизмеримо (это означает, что оба $\Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )$ и $\Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )$ являются конечными множествами) с группой $\Gamma$ определяется, как указано выше (относительно любого вложения в $\mathrm {GL} _{n}$). Согласно этому определению, к алгебраической группе $\mathrm {G}$ связан набор «дискретных» подгрупп, соизмеримых друг с другом.

Использование числовых полей

Естественным обобщением приведенной выше конструкции является следующее: пусть $F$ быть числовым полем с кольцом целых чисел $O$ и $\mathrm {G}$ алгебраическая группа над $F$. Если нам дано вложение $\rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}$ определено более $F$ тогда подгруппа $\rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)$ можно с полным основанием назвать арифметической группой.

С другой стороны, полученный таким образом класс групп не превосходит определенный выше класс арифметических групп. Действительно, если мы рассмотрим алгебраическую группу $\mathrm {G} '$ над $\mathbb {Q}$ полученное ограничением скаляров из $F$ к $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {Q}$-вложение $\rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}$ вызванный $\rho$ (где $d=[F:\mathbb {Q} ]$) то построенная выше группа равна $(\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))$.

Примеры

Классический пример арифметической группы: $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$или близкородственные группы $\mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )$, $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ и $\mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )$. Для $n=2$ группа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$, или иногда $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, называется модулярной группой , поскольку она связана с модулярной кривой . Аналогичными примерами являются модульные группы Зигеля. $\mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$.

Другие известные и изученные примеры включают группы Бьянки. $\mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),$ где $m>0$ представляет собой целое число без квадратов и $O_{-m}$ — кольцо целых чисел в поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),$ и модулярные группы Гильберта–Блюменталя $\mathrm {SL} _{2}(O_{m})$.

Другой классический пример дают целые элементы в ортогональной группе квадратичной формы, определенной над числовым полем, например $\mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )$. Связанная конструкция заключается в выборе единичных групп порядков в алгебрах кватернионов над числовыми полями (например, порядок кватернионов Гурвица ). Подобные конструкции можно выполнить и с унитарными группами эрмитовых форм , известный пример — модулярная группа Пикара .

Арифметические решетки в полупростых группах Ли

Когда $G$ является группой Ли, можно определить арифметическую решетку в $G$ следующим образом: для любой алгебраической группы $\mathrm {G}$ определено более $\mathbb {Q}$ такой, что существует морфизм $\mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G$ с компактным ядром — образ арифметической подгруппы в $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ представляет собой арифметическую решетку в $G$. Так, например, если $G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )$ и $G$ является подгруппой $\mathrm {GL} _{n}$ затем $G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ представляет собой арифметическую решетку в $G$ (но их гораздо больше, соответствующих другим вложениям); например, $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ представляет собой арифметическую решетку в $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$.

Теорема Бореля–Хариша-Чандры.

Решетку . в группе Ли обычно определяют как дискретную подгруппу с конечным кообъемом Введенная выше терминология согласуется с этим, поскольку теорема Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъем (дискретность очевидна).

Теорема более точна: она говорит, что арифметическая решетка кокомпактна тогда и только тогда, когда «форма» $G$ используется для его определения (т.е. $\mathbb {Q}$-группа $\mathrm {G}$) анизотропен. Например, арифметическая решетка, связанная с квадратичной формой в $n$ переменные над $\mathbb {Q}$ будет кокомпактна в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль ни в одной точке множества. $\mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}$.

Теорема Маргулиса об арифметичности

Эффектный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением к теореме Бореля-Хариша-Чандры: для некоторых групп Ли любая решетка арифметична. Этот результат верен для всех неприводимых решеток в полупростых группах Ли вещественного ранга больше двух. Например, все решетки в $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$ являются арифметическими, когда $n\geq 3$. Главным новым ингредиентом, который Маргулис использовал для доказательства своей теоремы, была сверхжесткость решеток в группах более высокого ранга, которую он для этой цели доказал.

Неприводимость играет роль только тогда, когда $G$ имеет множитель вещественного ранга один (в противном случае теорема всегда справедлива) и непроста: это означает, что для любого произведения разложения $G=G_{1}\times G_{2}$ решетка не соизмерима произведению решеток по каждому из сомножителей $G_{i}$. Например, решетка $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])$ в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ является неприводимым, в то время как $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ нет.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и сверхжесткости) справедлива для некоторых групп Ли ранга 1, а именно $\mathrm {Sp} (n,1)$ для $n\geqslant 1$ и исключительная группа $F_{4}^{-20}$. Известно, что оно выполняется не во всех группах. $\mathrm {SO} (n,1)$ для $n\geqslant 2$ (см. GPS) и для $\mathrm {SU} (n,1)$ когда $n=1,2,3$. В группах не известны неарифметические решетки $\mathrm {SU} (n,1)$ когда $n\geqslant 4$.

Арифметические фуксовы и клейновы группы

Основная статья: Арифметическая фуксова группа

Основная статья: Арифметическое гиперболическое трехмерное многообразие

Арифметическая фуксова группа строится на основе следующих данных: полностью вещественное числовое поле $F$, алгебра кватернионов $A$ над $F$ и заказ ${\mathcal {O}}$ в $A$. Спрашивается, что за одно вложение $\sigma :F\to \mathbb {R}$ алгебра $A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R}$ быть изоморфна матричной алгебре $M_{2}(\mathbb {R} )$ а для всех остальных — кватернионам Гамильтона . Тогда группа единиц ${\mathcal {O}}^{1}$ представляет собой решетку в $(A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}$ который изоморфен $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),$ и он кокомпактен во всех случаях, кроме случая, когда $A$ является матричной алгеброй над $\mathbb {Q} .$ Все арифметические решетки в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Арифметические клейновы группы строятся аналогично, за исключением того, что $F$ требуется ровно одно комплексное место и $A$ быть кватернионами Гамильтона во всех реальных местах. Они исчерпывают все классы арифметической соизмеримости в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).$

Классификация

Для каждой полупростой группы Ли $G$ теоретически можно классифицировать (с точностью до соизмеримости) все арифметические решетки в $G$, аналогично случаям $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ объяснено выше. Это сводится к классификации алгебраических групп, вещественные точки которых с точностью до компактного множителя изоморфны $G$.

Проблема конгруэнтной подгруппы

Основная статья: Подгруппа конгруэнтности

Подгруппа конгруэнции — это (примерно) подгруппа арифметической группы, определяемая путем взятия всех матриц, удовлетворяющих определенным уравнениям по модулю целого числа, например, группа целочисленных матриц размером 2 на 2 с диагональными (соответственно недиагональными) коэффициентами, конгруэнтными 1 (соответственно 0). ) по модулю натурального числа. Это всегда подгруппы конечного индекса, и проблема конгруэнтных подгрупп примерно спрашивает, все ли подгруппы получены таким способом. Гипотеза (обычно приписываемая Жану-Пьеру Серру ) состоит в том, что это верно для (неприводимых) арифметических решеток в группах более высокого ранга и неверно в группах ранга один. Эта общность все еще остается открытой, но имеется множество результатов, устанавливающих ее для конкретных решеток (как в положительном, так и в отрицательном случаях).

S-арифметические группы

Вместо того, чтобы брать целые точки в определении арифметической решетки, можно брать точки, которые являются целыми от конечного числа простых чисел. Это приводит к представлению о $S$-арифметическая решетка (где $S$ обозначает множество перевернутых простых чисел). Прототипическим примером является $\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)$. Они также естественным образом являются решетками в некоторых топологических группах, например $\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)$ представляет собой решетку в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).$

Определение

Формальное определение $S$-арифметическая группа для $S$ конечное множество простых чисел такое же, как и для арифметических групп с $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ заменен на $\mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)$ где $N$ является произведением простых чисел в $S$.

Решетки в группах Ли над локальными полями

Теорема Бореля-Хариша-Чандры обобщается на $S$-арифметические группы следующим образом: если $\Gamma$ это $S$-арифметическая группа в $\mathbb {Q}$-алгебраическая группа $\mathrm {G}$ затем $\Gamma$ является решеткой в ​​локально компактной группе

$G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})$.

Некоторые приложения

Явные графы расширения

Арифметические группы со свойством Каждана (T) или более слабым свойством ( $\tau$) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения графов-расширителей (Маргулис) или даже графов Рамануяна (Любоцкого-Филлипса-Сарнака). ). Судя по вероятностным результатам, известно, что такие графы существуют в изобилии, но явный характер этих конструкций делает их интересными.

Экстремальные поверхности и графы

Известно, что конгруэнтные накрытия арифметических поверхностей приводят к появлению поверхностей с большим радиусом инъективности . Точно так же графы Рамануджана, построенные Любоцким-Филлипсом-Сарнаком, имеют большой обхват . Фактически известно, что само свойство Рамануджана подразумевает, что локальные обхваты графа почти всегда велики.

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут использоваться для построения изоспектральных многообразий . Впервые это осознала Мари-Франс Виньерас. и с тех пор появились многочисленные вариации ее конструкции. Проблема изоспектральности на самом деле особенно удобна для изучения в ограниченной ситуации арифметических многообразий.

Фальшивые проективные плоскости

Фальшивая проективная плоскость - комплексная поверхность , имеющая те же числа Бетти , что и проективная плоскость. $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )$ но не биголоморфен ему; первый пример был обнаружен Мамфордом. Согласно работе Клинглера (также независимо доказанной Юнгом), все такие являются факторами 2-шара по арифметическим решеткам в $\mathrm {PU} (2,1)$. Возможные решетки были классифицированы Прасадом и Юнгом, а классификация была завершена Картрайтом и Стегером, которые с помощью компьютерных вычислений определили все ложные проективные плоскости в каждом классе Прасада-Юнга.