Jump to content

Арифметическая фуксова группа

Арифметические фуксовы группы — это специальный класс фуксовых групп, построенных с использованием порядков в алгебрах кватернионов . Они являются частными случаями арифметических групп . Прототипическим примером арифметической фуксовой группы является модулярная группа. . Они и гиперболическая поверхность, связанная с их действием на гиперболическую плоскость, часто демонстрируют особенно регулярное поведение среди фуксовых групп и гиперболических поверхностей.

Определение и примеры

[ редактировать ]

Кватернионные алгебры

[ редактировать ]

Алгебра кватернионов над полем представляет собой четырехмерный центральный простой -алгебра. Алгебра кватернионов имеет базис где и .

Алгебра кватернионов называется расщепленной над если он изоморфен как -алгебра к алгебре матриц .

Если представляет собой вложение в поле мы будем обозначать через алгебра, полученная расширением скаляров из к где мы смотрим как подполе с помощью .

Арифметические фуксовы группы

[ редактировать ]

Подгруппа Говорят, что она получена из алгебры кватернионов , если ее можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять быть полностью действительным числовым полем и алгебра кватернионов над удовлетворяющий следующим условиям. Сначала происходит уникальное вложение такой, что разделен на ; мы обозначаем через изоморфизм -алгебры. Мы также просим это для всех остальных вложений алгебра не расщепляется (это эквивалентно тому, что он изоморфен кватернионам Гамильтона ). Далее нам нужен заказ в . Позволять быть группой элементов в приведенной нормы 1 и пусть быть его изображением в с помощью . Тогда образ является подгруппой (поскольку приведенная норма матричной алгебры является всего лишь определителем), и мы можем рассмотреть фуксову группу, которая является ее образом в .

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для меры Хаара на Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра не разделен на части . Дискретность является довольно непосредственным следствием того факта, что расщепляется только при одном реальном вложении. Конечность кообъема доказать труднее. [1]

Арифметическая фуксова группа — это любая подгруппа которая соизмерима группе, полученной из алгебры кватернионов. Из этого определения непосредственно следует, что арифметические фуксовы группы дискретны и имеют конечный кообъем (это означает, что они являются решетками в ).

Простейшим примером арифметической фуксовой группы является модулярная группа. которое получается построением выше с и Выполняя приказы Эйхлера в мы получаем подгруппы для конечного индекса в что можно явно записать следующим образом:

Разумеется, арифметичность таких подгрупп следует из того факта, что они конечноиндексны в арифметической группе ; они принадлежат к более общему классу подгрупп конечного индекса — конгруэнц-подгруппам.

Любой порядок в алгебре кватернионов над который не разделен на но распадается дает кокомпактную арифметическую фуксову группу. Таких алгебр существует множество. [2]

В более общем смысле, все порядки в алгебрах кватернионов (удовлетворяющие вышеуказанным условиям), которые не являются дают кокомпактные подгруппы. Еще один пример, представляющий особый интерес, можно получить, взяв быть кватернионами Гурвица .

Максимальные подгруппы

[ редактировать ]

Естественным вопросом является выделение среди арифметических фуксовых групп тех, которые не содержатся строго в более крупной дискретной подгруппе. Они называются максимальными клейновыми группами, и в данном арифметическом классе соизмеримости можно дать полную классификацию. Заметим, что по теореме Маргулиса следует, что решетка в является арифметической тогда и только тогда, когда она соизмерима бесконечному числу максимальных клейновых групп.

Подгруппы конгруэнтности

[ редактировать ]

подгруппа конгруэнтная Основная является подгруппой вида:

для некоторых Это нормальные подгруппы конечного индекса и фактор изоморфна конечной группе подгруппа Конгруэнтная по определению является подгруппой, которая содержит главную конгруэнтную подгруппу (это группы, которые определяются путем взятия матриц из которые удовлетворяют определенным сравнениям по целому модулю (отсюда и название).

Примечательно, что не все подгруппы конечного индекса являются конгруэнтными подгруппами. Хороший способ увидеть это — наблюдать, что имеет подгруппы, которые сюръектируются на знакопеременную группу для произвольного и поскольку для большого группа не является подгруппой для любого эти подгруппы не могут быть конгруэнтными подгруппами. На самом деле можно также видеть, что в группе гораздо больше неконгруэнтных, чем конгруэнтных подгрупп. . [3]

Понятие конгруэнтной подгруппы обобщается на кокомпактные арифметические фуксовы группы, и приведенные выше результаты также справедливы и в этой общей ситуации.

Построение через квадратичные формы

[ редактировать ]

Существует изоморфизм между и связная компонента ортогональной группы задается действием первого путем сопряжения на пространстве матриц нулевого следа, на котором определитель индуцирует структуру вещественного квадратичного пространства сигнатуры (2,1). Арифметические фуксовы группы можно построить непосредственно в последней группе, взяв целые точки в ортогональной группе, связанной с квадратичными формами, определенными над числовыми полями (и удовлетворяющими определенным условиям).

В этом соответствии модулярная группа ассоциирована с точностью до соизмеримости группе [4]

Арифметические клейновы группы

[ редактировать ]

Приведенную выше конструкцию можно адаптировать для получения подгрупп в : вместо того, чтобы просить быть абсолютно реальным и чтобы быть разделенным ровно на одном реальном вложении, которое требуется иметь ровно одно комплексное вложение с точностью до комплексного сопряжения, при котором автоматически разделяется, и это не разбивается ни при каком вложении . Подгруппы соизмеримые с полученными этой конструкцией, называются арифметическими клейновыми группами . Как и в фуксовом случае, арифметические клейновы группы представляют собой дискретные подгруппы конечного кообъема.

Поля следов арифметических фуксовых групп

[ редактировать ]

Инвариантное поле следов фуксовой группы (или, через монодромный образ фундаментальной группы, гиперболической поверхности) — это поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметической поверхности, фундаментальная группа которой соизмерима с фуксовой группой, полученной из алгебры кватернионов над числовым полем инвариантное поле следа равно .

Фактически можно охарактеризовать арифметические многообразия через следы элементов их фундаментальной группы - результат, известный как критерий Такеучи. [5] Фуксова группа является арифметической группой тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

  • Его инвариантное поле трассировки является полностью вещественным числовым полем;
  • Следы его элементов — целые алгебраические числа ;
  • Есть вложение такой, что для любого в группе, и для любого другого встраивания у нас есть .

Геометрия арифметических гиперболических поверхностей

[ редактировать ]

Группа «Ли» - группа положительных изометрий гиперболической плоскости . Таким образом, если является дискретной подгруппой затем действует правильно прерывисто на . Если к тому же без кручения, то действие свободно и факторпространство поверхность (2-многообразие) с гиперболической метрикой (римановой метрикой постоянной секционной кривизны −1). Если является арифметической фуксовой группой, такая поверхность называется арифметической гиперболической поверхностью (не путать с арифметическими поверхностями из арифметической геометрии; однако, когда контекст ясен, спецификатор «гиперболический» может быть опущен). Поскольку арифметические фуксовы группы имеют конечный кообъем, арифметические гиперболические поверхности всегда имеют конечный риманов объем (т.е. интеграл по формы объема конечна).

Формула объема и конечность

[ редактировать ]

Формулу объема выделенных арифметических поверхностей можно дать из тех арифметических данных, с помощью которых она была построена. Позволять — максимальный порядок в алгебре кватернионов дискриминанта над полем , позволять быть его степенью, его дискриминант и это дзета-функция Дедекинда . Позволять быть арифметической группой, полученной из по процедуре выше и орбифолд . Его объем вычисляется по формуле [6]

продукт берет верх над основными идеалами разделяющий и мы вспоминаем - нормальная функция идеалов, т.е. — мощность конечного кольца ). Читатель может убедиться в этом, если выходные данные этой формулы восстанавливают известный результат о том, что гиперболический объем модульной поверхности равен .

В сочетании с описанием максимальных подгрупп и результатами о конечности числовых полей эта формула позволяет доказать следующее утверждение:

Учитывая любой существует лишь конечное число арифметических поверхностей, объем которых меньше .

Обратите внимание, что в измерениях четыре и более теорема Ванга о конечности (следствие локальной жесткости ) утверждает, что это утверждение остается верным, если заменить «арифметику» на «конечный объем». Асимптотический эквивалент числа арифметических многообразий определенного объема был дан Белолипецким — Геландером Любоцким Мозесом . [7]

Минимальный объем

[ редактировать ]

Гиперболический орбифолд минимального объема может быть получен как поверхность, связанная с определенным порядком, порядком кватернионов Гурвица , и он компактен по объему. .

Замкнутые геодезические и радиусы инъективности

[ редактировать ]

на Замкнутая геодезическая римановом многообразии — это замкнутая кривая , которая также является геодезической . Можно дать эффективное описание множества таких кривых на арифметической поверхности или трехмерном многообразии: они соответствуют определенным единицам в некоторых квадратичных расширениях основного поля (описание длинное и не будет приводиться здесь полностью). Например, длина примитивных замкнутых геодезических на модульной поверхности соответствует абсолютному значению единиц нормы один в действительных квадратичных полях. Это описание было использовано Сарнаком для установления гипотезы Гаусса о среднем порядке групп классов вещественных квадратичных полей. [8]

Можно использовать арифметические поверхности. [9] строить семейства поверхностей рода для любого которые удовлетворяют (оптимальному, с точностью до константы) систолическому неравенству

Спектры арифметических гиперболических поверхностей

[ редактировать ]

Собственные значения и собственные функции Лапласа

[ редактировать ]

Если является гиперболической поверхностью, то существует выделенный оператор о гладких функциях . В случае, когда компактен, он продолжается до неограниченного , по существу самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве квадратом функций, интегрируемых с на . Спектральная теорема римановой геометрии утверждает, что существует ортонормированный базис. собственных функций для . Соответствующие собственные значения неограничены и их асимптотическое поведение подчиняется закону Вейля .

В случае, когда является арифметикой, эти собственные функции представляют собой особый тип автоморфных форм для называются формами Мааса . Собственные значения представляют интерес для теоретиков чисел, а также распределения и узловые множества .

Случай, когда Конечного объема сложнее, но аналогичную теорию можно установить с помощью понятия формы возврата .

Гипотеза Сельберга

[ редактировать ]

Спектральная щель поверхности по определению это разрыв между наименьшим собственным значением и второе наименьшее собственное значение ; таким образом, его значение равно и мы будем обозначать его через В общем, его можно сделать сколь угодно малым (см. Рэндола) (однако он имеет положительную нижнюю границу для поверхности с фиксированным объемом). Гипотеза Сельберга — это следующее утверждение, обеспечивающее предположительно равномерную нижнюю оценку в арифметическом случае:

Если - это решетка, полученная из алгебры кватернионов и является конгруэнтной подгруппой без кручения группы тогда для у нас есть

Обратите внимание, что это утверждение справедливо только для подкласса арифметических поверхностей и может оказаться ложным для общих подгрупп конечного индекса в решетках, полученных из алгебр кватернионов. Оригинальное заявление Сельберга [10] было сделано только для конгруэнтных накрытий модульной поверхности и проверено для некоторых небольших групп. [11] Сам Сельберг доказал нижнюю оценку результат, известный как «теорема Сельберга 1/16». Самый известный результат в полной общности принадлежит Луо-Руднику-Сарнаку. [12]

Равномерность спектральной щели имеет значение для построения графов-расширителей в виде графов Шрайера [13]

Связь с геометрией

[ редактировать ]

Формула следов Сельберга показывает, что для гиперболической поверхности конечного объема это эквивалентно знанию спектра длин (совокупности длин всех замкнутых геодезических на , с кратностями) и спектр . Однако точное соотношение не является явным.

Другая связь между спектром и геометрией дается неравенством Чигера , которое в случае поверхности грубо утверждает, что положительная нижняя граница спектральной щели переводится в положительную нижнюю оценку общей длины набора гладких замкнутых кривых, разделяющих на две связные компоненты.

Квантовая эргодичность

[ редактировать ]

Квантовая теорема эргодичности Шнирельмана, Колена де Вердьера и Зельдича утверждает, что в среднем собственные функции равномерно распределяются на . Уникальная гипотеза о квантовой эргодичности Рудника и Сарнака задается вопросом, верно ли более сильное утверждение о равнораспределении отдельных собственных функций. Формально заявление выглядит следующим образом.

Позволять быть арифметической поверхностью и быть последовательностью функций на такой, что
Тогда для любой гладкой финитной функции на у нас есть

Эту гипотезу доказал Э. Линденштраус. [14] в случае, когда компактен и являются дополнительными собственными функциями операторов Гекке на . В случае конгруэнтных накрытий модуляра возникают дополнительные трудности, которые рассмотрел К. Саундарараджан. [15]

Изоспектральные поверхности

[ редактировать ]

Тот факт, что для арифметических поверхностей арифметические данные определяют спектр оператора Лапласа было отмечено М. Ф. Виньерасом [16] и использован ею для построения примеров изоспектральных компактных гиперболических поверхностей. Точная формулировка звучит следующим образом:

Если является алгеброй кватернионов, максимальные порядки в и связанные с ними фуксовы группы не имеют кручения, то гиперболические поверхности имеют одинаковый спектр Лапласа.

Затем Виньерас построил явные экземпляры для удовлетворяющие указанным выше условиям и такие, что, кроме того, не сопряжен элементом к . Получающиеся в результате изоспектральные гиперболические поверхности не являются изометрическими.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Стук 1992 .
  2. ^ Стук 1992 , раздел 5.6.
  3. ^ Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). «Глава 7». Рост подгруппы . Биркхойзер.
  4. ^ Калегари, Дэнни (17 мая 2014 г.). «Сказка о двух арифметических решетках» . Проверено 20 июня 2016 г.
  5. ^ Каток 1992 , Глава 5.
  6. ^ Борель, Арманд (1981). «Классы соизмеримости и объемы гиперболических трехмерных многообразий». Энн. Скуола Норм. Суп.Пиза Кл. Наука . 8 : 1–33.
  7. ^ Белолипецкий, Миша; Геландер, Цачик; Любоцкий, Александр; Шалев, Анер (2010). «Счет арифметических решеток и поверхностей». Энн. математики . 172 (3): 2197–2221. arXiv : 0811.2482 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.2197 .
  8. ^ Сарнак, Питер (1982). «Числа классов неопределенных бинарных квадратичных форм» . Дж. Теория чисел . 15 (2): 229–247. дои : 10.1016/0022-314x(82)90028-2 .
  9. ^ Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 .
  10. ^ Сельберг, Атле (1965), «Об оценке коэффициентов Фурье модульных форм» , в Уайтмене, Альберте Леоне (ред.), Теория чисел , Труды симпозиумов по чистой математике, том. VIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–15, ISBN.  978-0-8218-1408-6 , МР   0182610
  11. ^ Рельке, В. «О волновом уравнении для групп граничных кругов первого рода». С.-Б. Гейдельбергская академическая наука Матем.-Нат. Кл. 1953/1955 (на немецком языке): 159–267.
  12. ^ Ким, HH (2003). «Функториальность внешнего квадрата и симметричная четверть 16. С приложением : doi . 1 Динакара Рамакришнана и приложением 2 Кима и Питера Сарнака: 139–183 10.1090 / S0894-0347-02-00410-1 .
  13. ^ Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Биркхойзер.
  14. ^ Линденштраусс, Илон (2006). «Инвариантные меры и арифметическая квантовая уникальная эргодичность» . Энн. математики . 163 : 165–219. дои : 10.4007/анналы.2006.163.165 .
  15. ^ Саундарараджан, Каннан (2010). «Квантовая уникальная эргодичность для / (PDF) . Ann. of Math . 172 : 1529–1538. doi : 10.4007 . JSTOR   29764647. . MR   2680500 annals.2010.172.1529
  16. ^ Виньерас, Мари-Франс (1980). «Изоспектральные и неизометрические римановы многообразия». Энн. математики. (на французском языке). 112 (1): 21–32. дои : 10.2307/1971319 . JSTOR   1971319 .
  • Каток, Светлана (1992). Фуксовы группы . унив. из чикагской прессы.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a9fca28fdda46cde9e894d176244c22c__1706540160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a9/2c/a9fca28fdda46cde9e894d176244c22c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Arithmetic Fuchsian group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)