Арифметическая фуксова группа

Арифметические фуксовы группы — это специальный класс фуксовых групп, построенных с использованием порядков в алгебрах кватернионов . Они являются частными случаями арифметических групп . Прототипическим примером арифметической фуксовой группы является модулярная группа. $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . Они и гиперболическая поверхность, связанная с их действием на гиперболическую плоскость, часто демонстрируют особенно регулярное поведение среди фуксовых групп и гиперболических поверхностей.

Определение и примеры

Кватернионные алгебры

Алгебра кватернионов над полем $F$ представляет собой четырехмерный центральный простой $F$ -алгебра. Алгебра кватернионов имеет базис $1,i,j,ij$ где $i^{2},j^{2}\in F^{\times }$ и $ij=-ji$ .

Алгебра кватернионов называется расщепленной над $F$ если он изоморфен как $F$ -алгебра к алгебре матриц $M_{2}(F)$ .

Если $\sigma$ представляет собой вложение $F$ в поле $E$ мы будем обозначать через $A\otimes _{\sigma }E$ алгебра, полученная расширением скаляров из $F$ к $E$ где мы смотрим $F$ как подполе $E$ с помощью $\sigma$ .

Арифметические фуксовы группы

Подгруппа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ Говорят, что она получена из алгебры кватернионов , если ее можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять $F$ быть полностью действительным числовым полем и $A$ алгебра кватернионов над $F$ удовлетворяющий следующим условиям. Сначала происходит уникальное вложение $\sigma :F\hookrightarrow \mathbb {R}$ такой, что $A\otimes _{\sigma }\mathbb {R}$ разделен на $\mathbb {R}$ ; мы обозначаем через $\phi :A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {R} )$ изоморфизм $\mathbb {R}$ -алгебры. Мы также просим это для всех остальных вложений $\tau$ алгебра $A\otimes _{\tau }\mathbb {R}$ не расщепляется (это эквивалентно тому, что он изоморфен кватернионам Гамильтона ). Далее нам нужен заказ ${\mathcal {O}}$ в $A$ . Позволять ${\mathcal {O}}^{1}$ быть группой элементов в ${\mathcal {O}}$ приведенной нормы 1 и пусть $\Gamma$ быть его изображением в $M_{2}(\mathbb {R} )$ с помощью $\phi$ . Тогда образ $\Gamma$ является подгруппой $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ (поскольку приведенная норма матричной алгебры является всего лишь определителем), и мы можем рассмотреть фуксову группу, которая является ее образом в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для меры Хаара на $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} ).$ Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра $A$ не разделен на части $F$ . Дискретность является довольно непосредственным следствием того факта, что $A$ расщепляется только при одном реальном вложении. Конечность кообъема доказать труднее. ^[1]

Арифметическая фуксова группа — это любая подгруппа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ которая соизмерима группе, полученной из алгебры кватернионов. Из этого определения непосредственно следует, что арифметические фуксовы группы дискретны и имеют конечный кообъем (это означает, что они являются решетками в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ ).

Примеры

Простейшим примером арифметической фуксовой группы является модулярная группа. $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ),$ которое получается построением выше с $A=M_{2}(\mathbb {Q} )$ и ${\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} ).$ Выполняя приказы Эйхлера в $A$ мы получаем подгруппы $\Gamma _{0}(N)$ для $N\geqslant 2$ конечного индекса в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ что можно явно записать следующим образом:

\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):c=0{\pmod {N}}\right\}.

Разумеется, арифметичность таких подгрупп следует из того факта, что они конечноиндексны в арифметической группе $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ ; они принадлежат к более общему классу подгрупп конечного индекса — конгруэнц-подгруппам.

Любой порядок в алгебре кватернионов над $\mathbb {Q}$ который не разделен на $\mathbb {Q}$ но распадается $\mathbb {R}$ дает кокомпактную арифметическую фуксову группу. Таких алгебр существует множество. ^[2]

В более общем смысле, все порядки в алгебрах кватернионов (удовлетворяющие вышеуказанным условиям), которые не являются $M_{2}(\mathbb {Q} )$ дают кокомпактные подгруппы. Еще один пример, представляющий особый интерес, можно получить, взяв $A$ быть кватернионами Гурвица .

Максимальные подгруппы

Естественным вопросом является выделение среди арифметических фуксовых групп тех, которые не содержатся строго в более крупной дискретной подгруппе. Они называются максимальными клейновыми группами, и в данном арифметическом классе соизмеримости можно дать полную классификацию. Заметим, что по теореме Маргулиса следует, что решетка в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ является арифметической тогда и только тогда, когда она соизмерима бесконечному числу максимальных клейновых групп.

Подгруппы конгруэнтности

подгруппа конгруэнтная Основная $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ является подгруппой вида:

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d=1{\pmod {N}},\,b,c=0{\pmod {N}}\right\}

для некоторых $N\geqslant 1.$ Это нормальные подгруппы конечного индекса и фактор $\Gamma /\Gamma (N)$ изоморфна конечной группе $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).$ подгруппа Конгруэнтная $\Gamma$ по определению является подгруппой, которая содержит главную конгруэнтную подгруппу (это группы, которые определяются путем взятия матриц из $\Gamma$ которые удовлетворяют определенным сравнениям по целому модулю (отсюда и название).

Примечательно, что не все подгруппы конечного индекса $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ являются конгруэнтными подгруппами. Хороший способ увидеть это — наблюдать, что $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ имеет подгруппы, которые сюръектируются на знакопеременную группу $A_{n}$ для произвольного $n,$ и поскольку для большого $n$ группа $A_{n}$ не является подгруппой $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ для любого $N$ эти подгруппы не могут быть конгруэнтными подгруппами. На самом деле можно также видеть, что в группе гораздо больше неконгруэнтных, чем конгруэнтных подгрупп. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . ^[3]

Понятие конгруэнтной подгруппы обобщается на кокомпактные арифметические фуксовы группы, и приведенные выше результаты также справедливы и в этой общей ситуации.

Построение через квадратичные формы

Существует изоморфизм между $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ и связная компонента ортогональной группы $\mathrm {SO} (2,1)$ задается действием первого путем сопряжения на пространстве матриц нулевого следа, на котором определитель индуцирует структуру вещественного квадратичного пространства сигнатуры (2,1). Арифметические фуксовы группы можно построить непосредственно в последней группе, взяв целые точки в ортогональной группе, связанной с квадратичными формами, определенными над числовыми полями (и удовлетворяющими определенным условиям).

В этом соответствии модулярная группа ассоциирована с точностью до соизмеримости группе $\mathrm {SO} (2,1)(\mathbb {Z} ).$ ^[4]

Арифметические клейновы группы

Приведенную выше конструкцию можно адаптировать для получения подгрупп в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ : вместо того, чтобы просить $F$ быть абсолютно реальным и $A$ чтобы быть разделенным ровно на одном реальном вложении, которое требуется $F$ иметь ровно одно комплексное вложение с точностью до комплексного сопряжения, при котором $A$ автоматически разделяется, и это $A$ не разбивается ни при каком вложении $F\hookrightarrow \mathbb {R}$ . Подгруппы $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ соизмеримые с полученными этой конструкцией, называются арифметическими клейновыми группами . Как и в фуксовом случае, арифметические клейновы группы представляют собой дискретные подгруппы конечного кообъема.

Поля следов арифметических фуксовых групп

Инвариантное поле следов фуксовой группы (или, через монодромный образ фундаментальной группы, гиперболической поверхности) — это поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметической поверхности, фундаментальная группа которой соизмерима с фуксовой группой, полученной из алгебры кватернионов над числовым полем $F$ инвариантное поле следа равно $F$ .

Фактически можно охарактеризовать арифметические многообразия через следы элементов их фундаментальной группы - результат, известный как критерий Такеучи. ^[5] Фуксова группа является арифметической группой тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

Его инвариантное поле трассировки $F$ является полностью вещественным числовым полем;
Следы его элементов — целые алгебраические числа ;
Есть вложение $\sigma :F\to \mathbb {R}$ такой, что для любого $\gamma$ в группе, $t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})$ и для любого другого встраивания $\sigma \neq \sigma ':F\to \mathbb {R}$ у нас есть $|\sigma '(t)|\leqslant 2$ .

Геометрия арифметических гиперболических поверхностей

Группа «Ли» $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ - группа положительных изометрий гиперболической плоскости $\mathbb {H} ^{2}$ . Таким образом, если $\Gamma$ является дискретной подгруппой $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ затем $\Gamma$ действует правильно прерывисто на $\mathbb {H} ^{2}$ . Если к тому же $\Gamma$ без кручения, то действие свободно и факторпространство $\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}$ — поверхность (2-многообразие) с гиперболической метрикой (римановой метрикой постоянной секционной кривизны −1). Если $\Gamma$ является арифметической фуксовой группой, такая поверхность $S$ называется арифметической гиперболической поверхностью (не путать с арифметическими поверхностями из арифметической геометрии; однако, когда контекст ясен, спецификатор «гиперболический» может быть опущен). Поскольку арифметические фуксовы группы имеют конечный кообъем, арифметические гиперболические поверхности всегда имеют конечный риманов объем (т.е. интеграл по $S$ формы объема конечна).

Формула объема и конечность

Формулу объема выделенных арифметических поверхностей можно дать из тех арифметических данных, с помощью которых она была построена. Позволять ${\mathcal {O}}$ — максимальный порядок в алгебре кватернионов $A$ дискриминанта $D_{A}$ над полем $F$ , позволять $r=[F:\mathbb {Q} ]$ быть его степенью, $D_{F}$ его дискриминант и $\zeta _{F}$ это дзета-функция Дедекинда . Позволять $\Gamma _{\mathcal {O}}$ быть арифметической группой, полученной из ${\mathcal {O}}$ по процедуре выше и $S$ орбифолд $\Gamma _{\mathcal {O}}\setminus \mathbb {H} ^{2}$ . Его объем вычисляется по формуле ^[6]

\operatorname {vol} (S)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{(2\pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1);

продукт берет верх над основными идеалами $O_{F}$ разделяющий $(D_{A})$ и мы вспоминаем $N(\cdot )$ - нормальная функция идеалов, т.е. $N({\mathfrak {p}})$ — мощность конечного кольца $O_{F}/{\mathfrak {p}}$ ). Читатель может убедиться в этом, если ${\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} )$ выходные данные этой формулы восстанавливают известный результат о том, что гиперболический объем модульной поверхности равен $\pi /3$ .

В сочетании с описанием максимальных подгрупп и результатами о конечности числовых полей эта формула позволяет доказать следующее утверждение:

Учитывая любой $V>0$ существует лишь конечное число арифметических поверхностей, объем которых меньше $V$ .

Обратите внимание, что в измерениях четыре и более теорема Ванга о конечности (следствие локальной жесткости ) утверждает, что это утверждение остается верным, если заменить «арифметику» на «конечный объем». Асимптотический эквивалент числа арифметических многообразий определенного объема был дан Белолипецким — Геландером — Любоцким — Мозесом . ^[7]

Минимальный объем

Гиперболический орбифолд минимального объема может быть получен как поверхность, связанная с определенным порядком, порядком кватернионов Гурвица , и он компактен по объему. $\pi /21$ .

Замкнутые геодезические и радиусы инъективности

на Замкнутая геодезическая римановом многообразии — это замкнутая кривая , которая также является геодезической . Можно дать эффективное описание множества таких кривых на арифметической поверхности или трехмерном многообразии: они соответствуют определенным единицам в некоторых квадратичных расширениях основного поля (описание длинное и не будет приводиться здесь полностью). Например, длина примитивных замкнутых геодезических на модульной поверхности соответствует абсолютному значению единиц нормы один в действительных квадратичных полях. Это описание было использовано Сарнаком для установления гипотезы Гаусса о среднем порядке групп классов вещественных квадратичных полей. ^[8]

Можно использовать арифметические поверхности. ^[9] строить семейства поверхностей рода $g$ для любого $g$ которые удовлетворяют (оптимальному, с точностью до константы) систолическому неравенству

\operatorname {sys} (S)\geqslant {\frac {4}{3}}\log g.

Спектры арифметических гиперболических поверхностей

Собственные значения и собственные функции Лапласа

Если $S$ является гиперболической поверхностью, то существует выделенный оператор $\Delta$ о гладких функциях $S$ . В случае, когда $S$ компактен, он продолжается до неограниченного , по существу самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве $L^{2}(S)$ квадратом функций, интегрируемых с на $S$ . Спектральная теорема римановой геометрии утверждает, что существует ортонормированный базис. $\phi _{0},\phi _{1},\ldots ,\phi _{n},\ldots$ собственных функций для $\Delta$ . Соответствующие собственные значения $\lambda _{0}=0<\lambda _{1}\leqslant \lambda _{2}\leqslant \cdots$ неограничены и их асимптотическое поведение подчиняется закону Вейля .

В случае, когда $S=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}$ является арифметикой, эти собственные функции представляют собой особый тип автоморфных форм для $\Gamma$ называются формами Мааса . Собственные значения $\Delta$ представляют интерес для теоретиков чисел, а также распределения и узловые множества $\phi _{n}$ .

Случай, когда $S$ Конечного объема сложнее, но аналогичную теорию можно установить с помощью понятия формы возврата .

Гипотеза Сельберга

Спектральная щель поверхности $S$ по определению это разрыв между наименьшим собственным значением $\lambda _{0}=0$ и второе наименьшее собственное значение $\lambda _{1}>0$ ; таким образом, его значение равно $\lambda _{1}$ и мы будем обозначать его через $\lambda _{1}(S).$ В общем, его можно сделать сколь угодно малым (см. Рэндола) (однако он имеет положительную нижнюю границу для поверхности с фиксированным объемом). Гипотеза Сельберга — это следующее утверждение, обеспечивающее предположительно равномерную нижнюю оценку в арифметическом случае:

Если $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ - это решетка, полученная из алгебры кватернионов и $\Gamma '$ является конгруэнтной подгруппой без кручения группы $\Gamma ,$ тогда для $S=\Gamma '\setminus \mathbb {H} ^{2}$ у нас есть

\lambda _{1}(S)\geqslant {\tfrac {1}{4}}.

Обратите внимание, что это утверждение справедливо только для подкласса арифметических поверхностей и может оказаться ложным для общих подгрупп конечного индекса в решетках, полученных из алгебр кватернионов. Оригинальное заявление Сельберга ^[10] было сделано только для конгруэнтных накрытий модульной поверхности и проверено для некоторых небольших групп. ^[11] Сам Сельберг доказал нижнюю оценку $\lambda _{1}\geqslant {\tfrac {1}{16}},$ результат, известный как «теорема Сельберга 1/16». Самый известный результат в полной общности принадлежит Луо-Руднику-Сарнаку. ^[12]

Равномерность спектральной щели имеет значение для построения графов-расширителей в виде графов Шрайера $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$ ^[13]

Связь с геометрией

Формула следов Сельберга показывает, что для гиперболической поверхности конечного объема это эквивалентно знанию спектра длин (совокупности длин всех замкнутых геодезических на $S$ , с кратностями) и спектр $\Delta$ . Однако точное соотношение не является явным.

Другая связь между спектром и геометрией дается неравенством Чигера , которое в случае поверхности $S$ грубо утверждает, что положительная нижняя граница спектральной щели $S$ переводится в положительную нижнюю оценку общей длины набора гладких замкнутых кривых, разделяющих $S$ на две связные компоненты.

Квантовая эргодичность

Квантовая теорема эргодичности Шнирельмана, Колена де Вердьера и Зельдича утверждает, что в среднем собственные функции равномерно распределяются на $S$ . Уникальная гипотеза о квантовой эргодичности Рудника и Сарнака задается вопросом, верно ли более сильное утверждение о равнораспределении отдельных собственных функций. Формально заявление выглядит следующим образом.

Позволять $S$ быть арифметической поверхностью и $\phi _{j}$ быть последовательностью функций на $S$ такой, что

\Delta \phi _{j}=\lambda _{j}\phi _{j},\qquad \int _{S}\phi _{j}(x)^{2}\,dx=1.

Тогда для любой гладкой финитной функции $\psi$ на $S$ у нас есть

\lim _{j\to \infty }\left(\int _{S}\psi (x)\phi _{j}(x)^{2}\,dx\right)=\int _{S}\psi (x)\,dx.

Эту гипотезу доказал Э. Линденштраус. ^[14] в случае, когда $S$ компактен и $\phi _{j}$ являются дополнительными собственными функциями операторов Гекке на $S$ . В случае конгруэнтных накрытий модуляра возникают дополнительные трудности, которые рассмотрел К. Саундарараджан. ^[15]

Изоспектральные поверхности

Тот факт, что для арифметических поверхностей арифметические данные определяют спектр оператора Лапласа $\Delta$ было отмечено М. Ф. Виньерасом ^[16] и использован ею для построения примеров изоспектральных компактных гиперболических поверхностей. Точная формулировка звучит следующим образом:

Если $A$ является алгеброй кватернионов, ${\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}$ максимальные порядки в $A$ и связанные с ними фуксовы группы $\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ не имеют кручения, то гиперболические поверхности $S_{i}=\Gamma _{i}\setminus \mathbb {H} ^{2}$ имеют одинаковый спектр Лапласа.

Затем Виньерас построил явные экземпляры для $A,{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}$ удовлетворяющие указанным выше условиям и такие, что, кроме того, ${\mathcal {O}}_{2}$ не сопряжен элементом $A$ к ${\mathcal {O}}_{1}$ . Получающиеся в результате изоспектральные гиперболические поверхности не являются изометрическими.

Примечания

^ Стук 1992 .
^ Стук 1992 , раздел 5.6.
^ Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). «Глава 7». Рост подгруппы . Биркхойзер.
^ Калегари, Дэнни (17 мая 2014 г.). «Сказка о двух арифметических решетках» . Проверено 20 июня 2016 г.
^ Каток 1992 , Глава 5.
^ Борель, Арманд (1981). «Классы соизмеримости и объемы гиперболических трехмерных многообразий». Энн. Скуола Норм. Суп.Пиза Кл. Наука . 8 : 1–33.
^ Белолипецкий, Миша; Геландер, Цачик; Любоцкий, Александр; Шалев, Анер (2010). «Счет арифметических решеток и поверхностей». Энн. математики . 172 (3): 2197–2221. arXiv : 0811.2482 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.2197 .
^ Сарнак, Питер (1982). «Числа классов неопределенных бинарных квадратичных форм» . Дж. Теория чисел . 15 (2): 229–247. дои : 10.1016/0022-314x(82)90028-2 .
^ Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 .
^ Сельберг, Атле (1965), «Об оценке коэффициентов Фурье модульных форм» , в Уайтмене, Альберте Леоне (ред.), Теория чисел , Труды симпозиумов по чистой математике, том. VIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–15, ISBN. 978-0-8218-1408-6 , МР 0182610
^ Рельке, В. «О волновом уравнении для групп граничных кругов первого рода». С.-Б. Гейдельбергская академическая наука Матем.-Нат. Кл. 1953/1955 (на немецком языке): 159–267.
^ Ким, HH (2003). «Функториальность внешнего квадрата $GL_{4}$ и симметричная четверть $GL_{2}$ 16. С приложением : doi . 1 Динакара Рамакришнана и приложением 2 Кима и Питера Сарнака: 139–183 10.1090 / S0894-0347-02-00410-1 .
^ Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Биркхойзер.
^ Линденштраусс, Илон (2006). «Инвариантные меры и арифметическая квантовая уникальная эргодичность» . Энн. математики . 163 : 165–219. дои : 10.4007/анналы.2006.163.165 .
^ Саундарараджан, Каннан (2010). «Квантовая уникальная эргодичность для $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\setminus {\mathcal {H}}$ / (PDF) . Ann. of Math . 172 : 1529–1538. doi : 10.4007 . JSTOR 29764647. . MR 2680500 annals.2010.172.1529
^ Виньерас, Мари-Франс (1980). «Изоспектральные и неизометрические римановы многообразия». Энн. математики. (на французском языке). 112 (1): 21–32. дои : 10.2307/1971319 . JSTOR 1971319 .

Ссылки

Каток, Светлана (1992). Фуксовы группы . унив. из чикагской прессы.

[FOOTNOTEKatok1992-1] Стук 1992 .

[FOOTNOTEKatok1992section_5.6-2] Стук 1992 , раздел 5.6.

[3] Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). «Глава 7». Рост подгруппы . Биркхойзер.

[4] Калегари, Дэнни (17 мая 2014 г.). «Сказка о двух арифметических решетках» . Проверено 20 июня 2016 г.

[FOOTNOTEKatok1992Chapter_5-5] Каток 1992 , Глава 5.

[6] Борель, Арманд (1981). «Классы соизмеримости и объемы гиперболических трехмерных многообразий». Энн. Скуола Норм. Суп.Пиза Кл. Наука . 8 : 1–33.

[7] Белолипецкий, Миша; Геландер, Цачик; Любоцкий, Александр; Шалев, Анер (2010). «Счет арифметических решеток и поверхностей». Энн. математики . 172 (3): 2197–2221. arXiv : 0811.2482 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.2197 .

[8] Сарнак, Питер (1982). «Числа классов неопределенных бинарных квадратичных форм» . Дж. Теория чисел . 15 (2): 229–247. дои : 10.1016/0022-314x(82)90028-2 .

[9] Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 .

[10] Сельберг, Атле (1965), «Об оценке коэффициентов Фурье модульных форм» , в Уайтмене, Альберте Леоне (ред.), Теория чисел , Труды симпозиумов по чистой математике, том. VIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–15, ISBN. 978-0-8218-1408-6 , МР 0182610

[11] Рельке, В. «О волновом уравнении для групп граничных кругов первого рода». С.-Б. Гейдельбергская академическая наука Матем.-Нат. Кл. 1953/1955 (на немецком языке): 159–267.

[12] Ким, HH (2003). «Функториальность внешнего квадрата $GL_{4}$ и симметричная четверть $GL_{2}$ 16. С приложением : doi . 1 Динакара Рамакришнана и приложением 2 Кима и Питера Сарнака: 139–183 10.1090 / S0894-0347-02-00410-1 .

[13] Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Биркхойзер.

[14] Линденштраусс, Илон (2006). «Инвариантные меры и арифметическая квантовая уникальная эргодичность» . Энн. математики . 163 : 165–219. дои : 10.4007/анналы.2006.163.165 .

[15] Саундарараджан, Каннан (2010). «Квантовая уникальная эргодичность для $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\setminus {\mathcal {H}}$ / (PDF) . Ann. of Math . 172 : 1529–1538. doi : 10.4007 . JSTOR 29764647. . MR 2680500 annals.2010.172.1529

[16] Виньерас, Мари-Франс (1980). «Изоспектральные и неизометрические римановы многообразия». Энн. математики. (на французском языке). 112 (1): 21–32. дои : 10.2307/1971319 . JSTOR 1971319 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]