Гипотеза Оппенгейма

В диофантовом приближении касается гипотеза Оппенгейма представления чисел вещественными квадратичными формами от нескольких переменных. Оно было сформулировано в 1929 году Александром Оппенгеймом , а позже предполагаемое свойство было дополнительно усилено Гарольдом Давенпортом и Оппенгеймом. Первоначальные исследования этой проблемы предполагали, что число n переменных должно быть большим, и применялась версия метода круга Харди-Литтлвуда . В окончательной работе Маргулиса , утвердительно разрешившей гипотезу, использовались методы, вытекающие из эргодической теории и изучения дискретных подгрупп полупростых групп Ли .

Обзор [ править ]

Теорема Мейера утверждает, что неопределенная целая квадратичная форма Q от n переменных, n ≥ 5, нетривиально представляет ноль, т.е. существует ненулевой вектор x с целыми компонентами такой, что Q ( x ) = 0. Гипотезу Оппенгейма можно рассматривать как аналог этого утверждения для форм Q , не кратных рациональной форме. Он утверждает, что в этом случае набор значений Q на целочисленных векторах является плотным подмножеством вещественной прямой .

История [ править ]

Несколько версий гипотезы были сформулированы Оппенгеймом и Гарольдом Давенпортом .

Пусть Q — вещественная невырожденная неопределенная квадратичная форма от n переменных. Предположим, что n ≥ 3 и Q не кратно форме с рациональными коэффициентами. Тогда для любого ε > 0 существует ненулевой вектор x с целыми компонентами такой, что | Q ( Икс )| < е .

Для n ≥ 5 это было предположено Оппенгеймом в 1929 году; более сильная версия принадлежит Давенпорту в 1946 году.

Пусть Q и n имеют тот же смысл, что и раньше. Тогда для любого ε > 0 существует ненулевой вектор x с целыми компонентами такой, что 0 < | Q ( Икс , Икс )| < е .

Это было высказано Оппенгеймом в 1953 году и доказано Бёрчем, Давенпортом и Ридаутом для n не менее 21, а также Давенпортом и Хейльбронном для диагональных форм с пятью переменными. Другие частичные результаты принадлежат Оппенгейму (для форм с четырьмя переменнымино при строгом ограничении, что форма представляет ноль над Z ), Уотсон, Иванец, Бейкер-Шликкеви. Ранние работы по аналитической теории чисел и теории приведения квадратичных форм.

Гипотеза была доказана в 1987 г. Маргулисом в полной общности методами эргодической теории. действий некоторых унипотентных подгрупп ортогональной группы на однородном пространстве решеток Геометрия в R ³ играет решающую роль в этом подходе. Достаточно установить случай n = 3. Идею вывести гипотезу Оппенгейма из утверждения об однородных групповых действиях обычно приписывают М. С. Рагунатану , который заметил в 1970-х годах, что гипотеза для n = 3 эквивалентна следующему свойству пространства решеток:

Любая относительно компактная орбита SO(2, 1) в SL(3, R )/SL(3, Z ) компактна .

Однако позже Маргулис заметил, что в неявной форме эта эквивалентность встречалась уже в статье Касселса и HPF Суиннертон-Дайер 1955 года , хотя и на другом языке.

Вскоре после открытия Маргулиса доказательство было упрощено и обобщено Дэни и Маргулисом. Качественные версии гипотезы Оппенгейма позже были доказаны Эскином-Маргулисом-Мозесом. Борель и Прасад установили некоторые S аналоги -арифметики. Изучение свойств унипотентных и квазиунипотентных потоков на однородных пространствах остается активной областью исследований с приложениями к дальнейшим вопросам теории диофантовой аппроксимации .

См. также [ править ]

Теоремы Ратнера

Ссылки [ править ]

Борель, Арманд (1995). «Значения неопределенных квадратичных форм в целых точках и потоки на пространствах решеток». Бык. амер. Математика. Соц. 32 (2): 184–204. arXiv : математика/9504223 . Бибкод : 1995math......4223B . дои : 10.1090/S0273-0979-1995-00587-2 . МР 1302785 . S2CID 17947810 .
Давенпорт, Гарольд (2005) [1963]. ТД Браунинг (ред.). Аналитические методы решения диофантовых уравнений и диофантовых неравенств . Кембриджская математическая библиотека. С предисловием Р. К. Воана, Д. Р. Хита-Брауна и Д. Е. Фримена (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-60583-0 . МР 2152164 . Збл 1125.11018 .
Маргулис, Григорий (1997). «Гипотеза Оппенгейма». В Атье, Майкл; Ягольницер, Дэниел (ред.). Лекции Филдсовских медалистов . Всемирная научная серия по математике ХХ века. Том. 5. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co, Inc., стр. 272–327. дои : 10.1142/9789812385215_0035 . ISBN 981-02-3117-2 . МР 1622909 .
Оппенгейм, Александр (1929). «Минимумы неопределенных четверичных квадратичных форм» . Учеб. Натл. акад. наук. США 15 (9): 724–727. Бибкод : 1929PNAS...15..724O . дои : 10.1073/pnas.15.9.724 . ПМЦ 522544 . ПМИД 16577226 .