Группа Бьянки

В математике группа Бьянки — это группа вида

PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})

где d — положительное целое число без квадратов . Здесь PSL обозначает проективную специальную линейную группу , а ${\mathcal {O}}_{d}$ — кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ .

Группы были впервые изучены Бьянки ( 1892 ) как естественный класс дискретных подгрупп группы. $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ , теперь называемые Клейнианскими группами .

Как подгруппа $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ , группа Бьянки действует как сохраняющая ориентацию изометрия трехмерного гиперболического пространства. $\mathbb {H} ^{3}$ . Факторпространство $M_{d}=PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^{3}$ — некомпактное гиперболическое трехмерное многообразие конечного объема, которое также называют орбифолдом Бьянки . Точная формула объема через дзета -функцию Дедекинда основного поля. $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ , было вычислено Гумбертом следующим образом. Позволять $D$ быть дискриминантом $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ , и $\Gamma =SL_{2}({\mathcal {O}}_{d})$ , разрывное действие на ${\mathcal {H}}$ , затем

\operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .

Набор куспидов $M_{d}$ находится в биекции с группой классов $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ . Хорошо известно, что всякая некокомпактная арифметическая клейнова группа слабо соизмерима с группой Бианки. ^[1]