Кляйнианская группа

Не путать с четырехгруппой Клейна , прямым произведением двух копий циклической группы порядка 2.

В математике — Клейнинова группа это дискретная подгруппа группы сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства H. ³ . Последняя, ​​отождествляемая с PSL(2, C ) , представляет собой факторгруппу 2 на 2 комплексных матриц определителя 1 по их центру , которая состоит из единичной матрицы и ее произведения на −1 . PSL(2, C ) имеет естественное представление как сохраняющие ориентацию конформные преобразования сферы Римана и как сохраняющие ориентацию конформные преобразования открытого единичного шара B ³ в Р ³ . Группа преобразований Мёбиуса не сохраняющей ориентацию. также связана с группой изометрий H, ³ , ПГЛ(2, С ) . Итак, клейнову группу можно рассматривать как дискретную подгруппу, действующую в одном из этих пространств.

История

Теория общих клейнианских групп была основана Феликсом Кляйном ( 1883 ) и Анри Пуанкаре ( 1883 ), которые назвали их в честь Феликса Кляйна . Частный случай групп Шоттки был изучен несколькими годами ранее, в 1877 году, Шоттки.

Определения

Одно из современных определений группы Клейна — это группа, действующая на тройке. $B^{3}$ как дискретную группу гиперболических изометрий. Гиперболическое трехмерное пространство имеет естественную границу; в модели шара это можно отождествить с 2-сферой. Мы называем ее сферой на бесконечности и обозначаем через $S_{\infty }^{2}$. Гиперболическая изометрия продолжается до конформного гомеоморфизма сферы на бесконечности (и наоборот, каждый конформный гомеоморфизм на сфере на бесконечности однозначно расширяется до гиперболической изометрии на шаре посредством расширения Пуанкаре . Это стандартный результат комплексного анализа, что конформные гомеоморфизмы на сферой Римана являются в точности преобразования Мёбиуса , которые далее можно идентифицировать как элементы проективной линейной группы PGL(2, C ). Таким образом, клейнову группу можно также определить как подгруппу Γ группы PGL(2, C ). Клейнинова группа должна была действовать должным образом разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу.

Когда Γ изоморфна фундаментальной группе $\pi _{1}$ гиперболического 3-многообразия , то фактор-пространство H ³ /Γ становится клейновой моделью многообразия. Многие авторы используют термины Кляйнианская модель и Кляйнианская группа как синонимы, заменяя одно другим.

Дискретность подразумевает, что точки внутри гиперболического трехмерного пространства имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты относительно группы Γ. С другой стороны, орбита Γ p точки p обычно накапливается на границе замкнутого шара. ${\bar {B}}^{3}$.

Аполлонова прокладка является примером предельного множества клейниевой группы.

Множество точек накопления Γ p в $S_{\infty }^{2}$ называется предельным множеством Γ и обычно обозначается $\Lambda (\Gamma )$. Дополнение $\Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )$ называется областью разрыва , или обычным множеством , или регулярным множеством . Из теоремы Альфорса о конечности следует, что если группа конечно порождена, то $\Omega (\Gamma )/\Gamma$ является орбифолдом римановой поверхности конечного типа.

Единичный шар B ³ со своей конформной структурой является моделью Пуанкаре гиперболического трехмерного пространства . Когда мы думаем об этом метрически, с метрикой

$ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}$

это модель трехмерного гиперболического пространства H ³ . Множество конформных автоотображений B ³ становится набором изометрий (т.е. карт, сохраняющих расстояние) H ³ под этим удостоверением личности. Такие отображения ограничиваются конформными автокартами $S_{\infty }^{2}$, которые являются преобразованиями Мёбиуса . Существуют изоморфизмы

$\operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).$

этих Все подгруппы групп, состоящие из преобразований , сохраняющих ориентацию, изоморфны группе проективных матриц: PSL(2, C ) посредством обычного отождествления единичной сферы с комплексной проективной прямой P ¹ ( С ).

Вариации

Существуют некоторые варианты определения клейнианской группы: иногда Клейновы группы могут быть подгруппами PSL(2, C ).2 (т. е. PSL(2, C ), расширенными комплексными сопряжениями), другими словами, иметь элементы, меняющие ориентацию, а иногда предполагается, что они являются конечными. генерируются , и иногда от них требуется корректно действовать разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

• Клейнова группа называется конечного типа, если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонент относительно действия группы, а фактор каждой компоненты по ее стабилизатору представляет собой компактную риманову поверхность с конечным числом удаленных точек, а накрытие разветвлено в конечном числе точек.
• Клейнова группа называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. Теорема Альфорса о конечности утверждает, что такая группа имеет конечный тип.
• Клейнова группа Γ имеет конечный кообъем, если H ³ /Γ имеет конечный объем. Любая клейнова группа конечного кообъема конечно порождена.
• Клейнова группа называется геометрически конечной , если она имеет фундаментальный многогранник (в гиперболическом трехмерном пространстве) с конечным числом сторон. Альфорс показал, что если предельным множеством является не вся сфера Римана, то оно имеет меру 0.
• Клейнинова группа Γ называется арифметической , если она соизмерима с групповой нормой 1 элементами порядка алгебры кватернионов A, разветвленной во всех вещественных местах над числовым полем k ровно с одной комплексной точкой. Арифметические клейновы группы имеют конечный кообъем.
• Клейнова группа Γ называется кокомпактной, если H ³ /Γ компактен или, что то же самое, SL(2, C )/Γ компактен. Кокомпактные клейновы группы имеют конечный кообъем.
• Клейнова группа называется топологически ручной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем.
• Клейнинова группа называется геометрически ручной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены ( Терстон, 1980 ).
• Клейнинова группа называется типом 1 , если предельным множеством является вся сфера Римана, и типом 2 в противном случае.

Примеры

• Маскит разрезает пространство модулей клейновских групп.

Группы Бьянки

Группа Бьянки — это клейнива группа вида PSL(2, O _d ), где ${\mathcal {O}}_{d}$ — кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ для положительного целого числа без квадратов .

клейновы

Клейнова группа называется элементарной, если ее предельное множество конечно, и в этом случае предельное множество имеет 0, 1 или 2 точки. Примеры элементарных клейновых групп включают конечные клейновы группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейновы группы.

Клейнинова группа называется приводимой, если все ее элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые клейновы группы элементарны, но некоторые элементарные конечные клейновы группы неприводимы.

Фуксовы группы

Любая фуксова группа (дискретная подгруппа PSL(2, R )) является клейновой группой, и наоборот, любая клейнова группа, сохраняющая действительную прямую (в своем действии на сферу Римана), является фуксовой группой. В более общем смысле, каждая клейнинова группа, сохраняющая круг или прямую линию в сфере Римана, сопряжена фуксовой группе.

Группы

• Фактором обладающая клейновой группы G называется максимальная подгруппа H, следующими свойствами:
  • H имеет односвязную инвариантную компоненту D
  • Сопряженный элемент h из H конформной биекцией является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда h таков.
  • Любой параболический элемент G , фиксирующий граничную точку D, находится в H .
• Клейнинова группа называется группой Кебе, если все ее факторы элементарны или фуксовы.

Квазифуксовы группы

Предельное множество квазифуксовой группы

Клейнива группа, сохраняющая жорданову кривую, называется квазифуксовой группой . Когда кривая Жордана представляет собой круг или прямую линию, они просто сопряжены фуксовым группам при конформных преобразованиях. Конечно порожденные квазифуксовы группы сопряжены с фуксовыми группами при квазиконформных преобразованиях. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и если оно равно жордановой кривой, то группа называется группой первого рода , в противном случае — второго рода .

Группы Шоттки

Пусть C _i — граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, порожденная инверсией в каждом круге, имеет предельный набор Кантора и фактор H ³ / G — зеркальный орбифолд, подстилающее пространство которого представляет собой шар. Он двойной ручкой ; покрыт соответствующая подгруппа индекса 2 является клейновой группой, называемой группой Шоттки .

Кристаллографические группы

Пусть T — периодическая мозаика гиперболического трехмерного пространства. Группа симметрий мозаики является клейновой группой.

группы гиперболических 3

Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического трехмерного многообразия является клейновой группой. Есть много таких примеров, таких как дополнение к узлу восьмерки или пространство Зейферта-Вебера . И наоборот, если клейниева группа не имеет нетривиальных периодических элементов, то она является фундаментальной группой гиперболического трехмерного многообразия.

Клейнова группа называется вырожденной, если она не является элементарной и ее предельное множество односвязно. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксовых групп, такой, что один из двух компонентов регулярных точек сжимается до пустого множества; эти группы называются одновырожденными . Если обе компоненты регулярного множества сжимаются до пустого множества, то предельное множество становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется дважды вырожденной . Существование вырожденных клейновых групп было впервые косвенно показано Берсом (1970) , а первый явный пример был найден Йоргенсеном. Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и кривых заполнения пространства, связанных с псевдоаносовскими отображениями .

См. также

• Гипотеза Альфорса о мере
• Теорема плотности для клейновых групп
• Завершающая теорема о ламинировании
• Теорема прирученности (гипотеза Мардена)

Ссылки

• Берс, Липман (1970), «О границах пространств Тейхмюллера и клейновских группах. I», Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 570–600, doi : 10.2307/1970638 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970638 , МР   0297992
• Берс, Липман ; Кра, Ирвин , ред. (1974), Ускоренный курс клейнианских групп (PDF) , Конспекты лекций по математике, том. 400, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0065671 , hdl : 10077/4140 , ISBN  978-3-540-06840-2 , МР   0346152
• Кэннон, Джеймс В.; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], «Групповые инвариантные кривые Пеано», Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN   1465-3060 , MR   2326947
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Лекции по теории автоморфных функций. Первый том; Основы теории групп (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN  978-1-4297-0551-6 , ЯФМ   28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Лекции по теории автоморфных функций. Второй том: Объяснения и приложения функциональной теории. 1-я поставка: Узкая теория автоморфных функций (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN.  978-1-4297-0552-3 , ЯФМ   32.0430.01
• Харви, Уильям Джеймс (1978), «Кляйнианские группы (опрос)», Семинар Бурбаки, 29-й год (1976/77), Exp. № 491 , Конспект лекций по математике, вып. 677, Шпрингер, Берлин, стр. 30–45, номер домена : 10.1007/BFb0070752 , ISBN.  978-3-540-08937-7 , МР   0521758
• Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN  978-0-8176-4912-8 , МР   1792613
• Кляйн, Феликс (1883), «Новый вклад в теорию функций Римана» , Mathematical Annals , 21 (2): 141–218, doi : 10.1007/BF01442920 , ISSN   0025-5831 , JFM   15.0351.01 , S2CID   120465625
• Кра, Ирвин (1972), Автоморфные формы и клейновы группы , Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Ридинг, Массачусетс, ISBN  9780805323429 , МР   0357775
• Крушкал, С.Л. (2001) [1994], «Клейнианская группа» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Тексты для выпускников по математике, том. 219, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , CiteSeerX   10.1.1.169.1318 , doi : 10.1007/978-1-4757-6720-9 , ISBN  978-0-387-98386-8 , г-н   1937957
• Маскит, Бернард (1988), Клейнианские группы , Фундаментальные принципы математических наук, том. 287, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-17746-3 , МР   0959135
• Мацудзаки, Кацухико; Танигучи, Масахико (1998), Гиперболические многообразия и клейновы группы , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850062-9 , МР   1638795
• Мамфорд, Дэвид ; Серия, Кэролайн ; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781107050051.024 , ISBN  978-0-521-35253-6 , г-н   1913879
• Пуанкаре, Анри (1883), «Мемуары о кляйнианских группах», Acta Mathematica , 3 : 49–92, doi : 10.1007/BF02422441 , ISSN   0001-5962 , JFM   15.0348.02
• Серия, Кэролайн (2005), «Ускоренный курс по кляйнианским группам» , Reports of the Institute of Mathematics of the University of Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN   0049-4704 , MR   2227047 , заархивировано с оригинала на 22 июля 2011 г.
  • Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспект лекций в Принстоне
• Терстон, Уильям П. (1982), «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 6 (3): 357–381, doi : 10.1090/S0273-0979-1982 -15003-0 , ISSN   0002-9904 , МР   0648524

Внешние ссылки

• Изображение предельного множества квазифуксовой группы из ( Fricke & Klein 1897 , стр. 418).
• Изображение предельного множества клейнианской группы из ( Fricke & Klein 1897 , стр. 440). Это была одна из первых фотографий лимит-сета. Компьютерный рисунок того же предельного набора.
• Анимации предельных множеств клейниевой группы
• Изображения Макмаллена, связанные с кляйнианскими группами
• Вайсштейн, Эрик В. «Кляйнианская группа» . Математический мир .