группа Шоттки

В математике группа Шоттки — это особый вид Клейниевой группы , впервые изученный Фридрихом Шоттки ( 1877 ).

Определение

Зафиксируем некоторую точку p на сфере Римана . Каждая кривая Жордана, не проходящая через p, делит сферу Римана на две части, и мы называем часть, содержащую p, «внешней» кривой, а другую часть — ее «внутренностью». имеется 2 g непересекающихся жордановых кривых A ₁ , B ₁ ,..., A _g , B _g Предположим, что в сфере Римана с непересекающимися внутренностями. Если существуют преобразования Мёбиуса Ti _, переводящие внешнюю часть внутрь _Ai Bi , _{клейновой} то группа, порожденная этими преобразованиями, является группой . Группа Шоттки — это любая клейниева группа, которую можно построить таким образом.

Характеристики

Согласно работе Маскита (1967) , конечно порожденная клейниева группа является Шоттки тогда и только тогда, когда она конечно порождена , свободна , имеет непустую область разрыва и все нетривиальные элементы локсодромны .

Фундаментальная область действия группы Шоттки G на ее регулярных точках Ω( G ) в сфере Римана задается внешностью определяющих ее жордановых кривых. Соответствующее факторпространство Ω( G )/ G задается объединением жордановых кривых в пары, так же как и компактная риманова поверхность рода g . Это граница 3-многообразия, заданная факторизацией ( H ∪ Ω( G ))/ G 3-мерного гиперболического пространства H плюс регулярное множество Ω( G ) по группе Шоттки G , которая является телом ручки род г. Обратно, любая компактная риманова поверхность рода g может быть получена из некоторой группы Шоттки рода g .

Классические и неклассические группы Шоттки

Группа Шоттки называется классической , если все непересекающиеся жордановые кривые, соответствующие некоторому набору образующих, можно выбрать в качестве окружностей. Марден ( 1974 , 1977 ) дал косвенное и неконструктивное доказательство существования неклассических групп Шоттки, а Ямамото (1991) привел явный пример одного из них. показал Дойл (1988) , что все конечно порожденные классические группы Шоттки имеют предельные множества хаусдорфовой размерности, строго ограниченные сверху универсальной константой меньше 2. И наоборот, Хоу (2010) доказал, что существует универсальная нижняя граница Хаусдорфова размерность предельных множеств всех неклассических групп Шоттки.

Предельные множества групп Шоттки

Предельное множество группы Шоттки, дополнение к Ω( G ), всегда имеет нулевую меру Лебега , но может иметь положительную d -мерную меру Хаусдорфа при d < 2. Оно совершенно и нигде не плотно с положительной логарифмической емкостью.

Утверждение о мерах Лебега для классических групп Шоттки следует из существования ряда Пуанкаре

\displaystyle {P(z)=\sum (c_{i}z+d_{i})^{-4}.}

Пуанкаре показал, что ряд | с _я | ⁻⁴ суммируема по неединичным элементам группы. Фактически, если взять замкнутый диск внутри фундаментальной области, его образы под разными элементами группы не пересекаются и содержатся в фиксированном диске около 0. Таким образом, суммы площадей конечны. По формуле замены переменных площадь больше константы в раз | с _я | ⁻⁴. ^[1]

Аналогичный аргумент подразумевает, что предельное множество имеет нулевую меру Лебега. ^[2] Ибо оно содержится в дополнении объединения образов фундаментальной области элементами группы с длиной слова, ограниченной n . Это конечное объединение кругов, поэтому его площадь конечна. Эта область ограничена сверху постоянным умножением вклада в сумму Пуанкаре элементов длины слова n , поэтому уменьшается до 0.

Пространство Шоттки

Пространство Шоттки (некоторого рода g ≥ 2) — это пространство отмеченных групп Шоттки рода g , другими словами, пространство множеств g элементов PSL ₂ ( C ), порождающих группу Шоттки, с точностью до эквивалентности относительно преобразований Мёбиуса ( Берс 1975 ). Это комплексное многообразие комплексной размерности 3 g −3. Он содержит классическое пространство Шоттки как подмножество, соответствующее классическим группам Шоттки.

Пространство Шоттки рода g , вообще говоря, не односвязно, но его универсальное накрывающее пространство можно отождествить с пространством Тейхмюллера компактных рода g римановых поверхностей .

См. также

Примечания

^ Ленер 1964 , с. 159
^ Приходите в 1964 году.

Ссылки

Аказа, Тору (1964), «Тэта-ряды Пуанкаре и особые множества групп Шоттки», Nagoya Math. Дж. , 24 : 43–65, doi : 10.1017/S0027763000011338 , S2CID 118640111
Берс, Липман (1975), «Автоморфные формы для групп Шоттки», Успехи в математике , 16 (3): 332–361, doi : 10.1016/0001-8708(75)90117-6 , ISSN 0001-8708 , MR 0377044
Чакроу, Вики (1968), «О группах Шоттки с приложениями к клейнианским группам», Annals of Mathematics , Second Series, 88 (1): 47–61, doi : 10.2307/1970555 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970555 , MR 0227403
Дойл, Питер (1988), «О басовой ноте группы Шоттки», Acta Mathematica , 160 : 249–284, doi : 10.1007/bf02392277 , MR 0945013
Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Лекции по теории автоморфных функций. Первый том; Теоретико-групповые основы. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN 978-1-4297-0551-6 , ЯФМ 28.0334.01
Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Лекции по теории автоморфных функций. Второй том: Объяснения и приложения функциональной теории. 1. Доставка: более узкая теория автоморфных функций. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер., ISBN 978-1-4297-0552-3 , ЯФМ 32.0430.01
Гилман, Джейн , Обзор групп Шоттки (PDF)
Хоу, Йонг (2010), «Клейновы группы малой хаусдорфовой размерности являются классическими группами Шоттки I», Geometry & Topology , 14 : 473–519, arXiv : math/0610458 , doi : 10.2140/gt.2010.14.473 , S2CID 119144655
Хоу, Йонг (2013), Все конечно порожденные клейновы группы малой хаусдорфовой размерности являются классическими группами Шоттки , arXiv : 1307.2677 , Bibcode : 2013arXiv1307.2677H
Йоргенсен, Т.; Марден, А.; Маскит, Бернард (1979), «Граница классического пространства Шоттки» , Duke Mathematical Journal , 46 (2): 441–446, doi : 10.1215/s0012-7094-79-04619-2 , ISSN 0012-7094 , MR 0534060
Ленер, Джозеф (1964), Разрывные группы и автоморфные функции , Математические обзоры и монографии, том. 8, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1508-3
Марден, Альберт (1974), «Геометрия конечно порожденных клейниевых групп», Annals of Mathematics , Second Series, 99 (3): 383–462, doi : 10.2307/1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 0349992 , Збл 0282.30014
Марден, А. (1977), «Геометрически конечные клейновы группы и их деформационные пространства», в Харви, В.Дж. (редактор), Дискретные группы и автоморфные функции (Proc. Conf., Cambridge, 1975) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 259–293, ISBN. 978-0-12-329950-5 , МР 0494117
Маскит, Бернар (1967), «Характеристика групп Шоттки», Journal d'Analyse Mathématique , 19 : 227–230, doi : 10.1007/BF02788719 , ISSN 0021-7670 , MR 0220929
Маскит, Бернард (1988), Клейнианские группы , Основы математических наук, том. 287, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-17746-3 , МР 0959135
Дэвид Мамфорд , Кэролайн Ряд, и Дэвид Райт, Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна , издательство Кембриджского университета , 2002 г. ISBN 0-521-35253-3
Шоттки, Ф. (1877), «О конформном отображении нескольких связанных плоских поверхностей» , Журнал чистой и прикладной математики , 83 : 300–351, doi : 10.1515/crll.1877.83.300 , ISSN 0075-4102 , S2CID 118718425
Ямамото, Хиро-о (1991), «Пример неклассической группы Шоттки», Duke Mathematical Journal , 63 (1): 193–197, doi : 10.1215/S0012-7094-91-06308-8 , ISSN 0012-7094 , МР 1106942

Внешние ссылки

Три преобразования, порождающие группу Шоттки из ( Fricke & Klein 1897 , стр. 442).

[1] Ленер 1964 , с. 159

[2] Приходите в 1964 году.

[1]

[2]