Ряд Пуанкаре (модульная форма)

Не путать с рядом Гильберта–Пуанкаре .

В теории чисел ряд Пуанкаре — это математический ряд, обобщающий классический тэта-ряд , который связан с любой дискретной группой симметрий комплексной области , возможно, нескольких комплексных переменных . В частности, они обобщают классические ряды Эйзенштейна . Они названы в честь Анри Пуанкаре .

Если Γ — конечная группа, действующая в области D, и H ( z ) — любая мероморфная функция на D можно получить , то автоморфную функцию путем усреднения по Γ:

$\sum _{\gamma \in \Gamma }H(\gamma (z)).$

Однако если Г — дискретная группа , то необходимо ввести дополнительные факторы, чтобы обеспечить сходимость такого ряда. С этой целью ряд Пуанкаре представляет собой ряд вида

$\theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(J_{\gamma }(z))^{k}H(\gamma (z))$

где J _γ — определитель Якобиана группового элемента γ, звездочка означает, что суммирование происходит только по представителям смежных классов, дающим различные члены ряда.

Классический ряд Пуанкаре веса 2 k фуксовой группы Γ определяется рядом

$\theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}H\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)$

суммирование, продолжающееся по классам конгруэнтности дробных линейных преобразований

$\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

принадлежащий Г. Выбирая H в качестве характера циклической группы порядка n , получаем так называемый ряд Пуанкаре порядка n :

$\theta _{k,n}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}\exp \left(2\pi in{\frac {az+b}{cz+d}}\right)$

Последний ряд Пуанкаре абсолютно и равномерно сходится на компактах (в верхней полуплоскости) и является модулярной формой веса 2 k для Γ. Обратите внимание, что когда Γ — полная модулярная группа и n = 0, получается ряд Эйзенштейна веса 2 k . В общем, ряд Пуанкаре для n ≥ 1 представляет собой форму возврата .

Ссылки

• Коллар, Янош (1995), карты Шафаревича и автоморфные формы , лекции М.Б. Портера, Princeton University Press , ISBN  978-0-691-04381-4 , МР   1341589 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Тета-серия» , Энциклопедия Математики , EMS Press .