Слышать форму барабана

Математически идеальные барабаны с мембранами этих двух разных форм (но в остальном идентичными) будут звучать одинаково, поскольку все собственные частоты равны, поэтому тембральные спектры будут содержать одни и те же обертоны. Этот пример был построен Гордоном, Уэббом и Вулпертом. Обратите внимание, что оба многоугольника имеют одинаковую площадь и периметр.

Услышать форму барабана — значит вывести информацию о форме пластика из звука, который он издает, то есть из списка обертонов , с помощью математической теории.

«Можно ли услышать форму барабана?» — это название статьи Марка Каца в American Mathematical Monthly, опубликованной в 1966 году , которая сделала этот вопрос знаменитым, хотя эта конкретная формулировка принадлежит Липману Берсу . Подобные вопросы можно проследить вплоть до физика Артура Шустера в 1882 году. За свою статью Кац был удостоен премии Лестера Р. Форда в 1967 году и премии Шовене в 1968 году.

Частоты, на которых может вибрировать пластик, зависят от его формы. Уравнение Гельмгольца вычисляет частоты, если известна форма. Эти частоты являются собственными значениями в лапласиана пространстве. Главный вопрос заключается в том, можно ли предсказать форму, если известны частоты; например, треугольник Рело . можно ли таким образом распознать Кац признал, что он не знает, могут ли две разные формы давать одинаковый набор частот. На вопрос о том, определяют ли частоты форму, в начале 1990-х годов наконец ответили отрицательно Гордон, Уэбб и Вулперт.

Официальное заявление

Более формально барабан рассматривается как эластичная мембрана, граница которой зажата. Он представлен в виде области D на плоскости . Обозначим через λ _n для собственные значения Дирихле D : то есть собственные значения задачи Дирихле для лапласиана :

${\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}$

Две области называются изоспектральными (или гомофонными), если они имеют одинаковые собственные значения. Термин «гомофонический» оправдан, поскольку собственные значения Дирихле являются именно теми фундаментальными тонами, которые способен воспроизводить барабан: они естественным образом появляются как коэффициенты Фурье в решении волнового уравнения с зажатой границей.

Поэтому вопрос можно переформулировать так: что можно сделать вывод о D, если известны только значения λ _n ? Или, более конкретно: существуют ли две отдельные изоспектральные области?

Связанные проблемы могут быть сформулированы для задачи Дирихле для лапласиана в областях более высоких размерностей или на римановых многообразиях , а также для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши-Римана или оператор Дирака . Помимо условия Дирихле, могут быть наложены и другие граничные условия, такие как граничное условие Неймана . См. Спектральную геометрию и изоспектральные статьи в соответствующих статьях.

Ответ

Однопараметрическое семейство изоспектральных барабанов

Собственные моды и соответствующие собственные значения оператора Лапласа в областях GWW

В 1964 году Джон Милнор заметил, что теорема Эрнста Витта о решетках предполагает существование пары 16-мерных плоских торов, имеющих одинаковые собственные значения, но разную форму. Однако проблема в двух измерениях оставалась открытой до 1992 года, когда Кэролайн Гордон , Дэвид Уэбб и Скотт Вулперт построили на основе метода Сунады пару областей на плоскости, имеющих разную форму, но одинаковые собственные значения. Регионы представляют собой вогнутые многоугольники . Доказательство того, что обе области имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии лапласиана. Эту идею обобщили Бузер, Конвей, Дойл и Земмлер. который построил множество подобных примеров. услышать форму барабана Итак, ответ на вопрос Каца: для многих форм нельзя полностью . Однако некоторую информацию можно получить.

С другой стороны, Стив Зельдич доказал, что ответ на вопрос Каца будет положительным, если наложить ограничения на определенные выпуклые плоские области с аналитической границей. Неизвестно, могут ли две невыпуклые аналитические области иметь одинаковые собственные значения. Известно, что множество областей, изоспектральных данной, компактно в C ^∞ топология. Более того, сфера (например) является спектрально жесткой по теореме Ченга о сравнении собственных значений . Благодаря результатам Осгуда, Филлипса и Сарнака известно также, что пространство модулей римановых поверхностей данного рода не допускает непрерывного изоспектрального потока через любую точку и компактно в топологии Фреше – Шварца.

Формула Вейля

Основная статья: закон Вейля

Формула Вейля гласит, что можно определить площадь A барабана, посчитав, насколько быстро растет λ _n . Мы определяем N ( R ) как количество собственных значений, меньших, чем R , и получаем

$A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},$

где d - размерность, а $\omega _{d}$ — объем d -мерного единичного шара. Вейль также предположил, что следующий член в приведенном ниже приближении даст периметр D . Другими словами, если L обозначает длину периметра (или площадь поверхности в более высоком измерении), то следует иметь

$N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).$

Для гладкой границы это было доказано Виктором Иврием в 1980 году. В многообразии также не допускается наличие двухпараметрического семейства периодических геодезических, как у сферы.

Гипотеза

предположил , что для негладких границ В 1979 году Майкл Берри поправка должна быть порядка

$R^{D/2},$

где D — хаусдорфова размерность границы. Это было опровергнуто Ж. Броссаром и Р. А. Кармоной, которые затем предложили заменить размерность Хаусдорфа на размерность верхнего ящика . На плоскости это было доказано, если граница имеет размерность 1 (1993 г.), но в основном опровергнуто для более высоких измерений (1996 г.); оба результата принадлежат Лапидусу и Померансу .

См. также

• Гассманн тройной
• изоспектральный
• Спектральная геометрия
• Колебания круговой мембраны

Ссылки

• Абикофф, Уильям (январь 1995 г.), «Вспоминая Липмана Берса» (PDF) , Уведомления AMS , 42 (1): 8–18.
• Броссар, Жан; Кармона, Рене (1986), «Можно ли услышать размерность фрактала?» , Комм. Математика. Физ. , 104 (1): 103–122, Bibcode : 1986CMaPh.104..103B , doi : 10.1007/BF01210795 , S2CID   121173871
• Бузер, Питер ; Конвей, Джон ; Дойл, Питер; Земмлер, Клаус-Дитер (1994), «Некоторые плоские изоспектральные области», International Mathematics Research Sciences , 1994 (9): 391–400, doi : 10.1155/S1073792894000437
• Чепмен, С.Дж. (1995), «Барабаны, которые звучат одинаково», American Mathematical Monthly , 102 (февраль): 124–138, doi : 10.2307/2975346 , JSTOR   2975346
• Жиро, Оливье; Тас, Коэн (2010), «Слуховые формы барабанов – математические и физические аспекты изоспектральности», Reviews of Modern Physics , 82 (3): 2213–2255, arXiv : 1101.1239 , Bibcode : 2010RvMP...82.2213G , doi : 10.1103/RevModPhys.82.2213 , S2CID   119289493
• Гордон, Кэролайн ; Уэбб, Дэвид (1996), «Вы не можете услышать форму барабана», American Scientist , 84 (январь – февраль): 46–55, Бибкод : 1996AmSci..84...46G
• Гордон, К .; Уэбб, Д .; Вулперт, С. (1992), «Изоспектральные плоские области и поверхности через римановы орбифолды», Inventiones Mathematicae , 110 (1): 1–22, Bibcode : 1992InMat.110....1G , doi : 10.1007/BF01231320 , S2CID   122258115
• Иврий, В.Я. (1980), "Второй член спектральной асимптотики оператора Лапласа–Бельтрами на многообразиях с краем", Функц. Анальный. И Приложен , 14 (2): 25–34, doi : 10.1007/BF01086550 , S2CID   123935462 (на русском языке ).
• Кац, Марк (апрель 1966 г.), «Можно ли услышать форму барабана?» (PDF) , American Mathematical Monthly , 73 (4, часть 2): 1–23, doi : 10.2307/2313748 , JSTOR   2313748
• Лапидус, Мишель Л. (1991), «Можно ли услышать форму фрактального барабана? Частичное разрешение гипотезы Вейля-Берри», Геометрический анализ и компьютерная графика , Математика. наук. Рез. Инст. Опубл., т. 1, с. 17, Нью-Йорк: Springer, стр. 119–126, номер документа : 10.1007/978-1-4613-9711-3_13 , ISBN.  978-1-4613-9713-7
• Лапидус, Мишель Л. (1993), «Вибрации фрактальных барабанов, гипотеза Римана , волны во фрактальных средах и гипотеза Вейля-Берри», в Б. Д. Слимане; Р. Дж. Джарвис (ред.), Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, Том IV, Proc. Двенадцатый Интернат. Конф. (Данди, Шотландия, Великобритания, июнь 1992 г.) , Исследовательские заметки Питмана по математике. Серия, том. 289, Лондон: Longman and Технический, стр. 126–209.
• Лапидус, МЛ; ван Франкенхейсен, М. (2000), Фрактальная геометрия и теория чисел: комплексные размерности фрактальных струн и нулей дзета-функций , Бостон: Биркхаузер . (Пересмотренное и дополненное второе издание выйдет в свет в 2005 г.)
• Лапидус, Мишель Л.; Померанс, Карл (1993), «Дзета-функция Римана и одномерная гипотеза Вейля-Берри для фрактальных барабанов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX   10.1.1.526.854 , doi : 10.1112/plms/s3-66.1.41
• Лапидус, Мишель Л.; Померанс, Карл (1996), «Контрпримеры модифицированной гипотезе Вейля-Берри о фрактальных барабанах», Math. Учеб. Кембриджская философия. Соц. , 119 (1): 167–178, Bibcode : 1996MPCPS.119..167L , doi : 10.1017/S0305004100074053 , S2CID   33567484
• Милнор, Джон (1964), «Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 51 (4): 542ff, Bibcode : 1964PNAS...51..542M , doi : 10.1073/pnas.51.4.542 , PMC   300113 , PMID   16591156
• Сунада, Т. (1985), "Римановы накрытия и изоспектральные многообразия", Ann. математики. , 2, 121 (1): 169–186, номер документа : 10.2307/1971195 , JSTOR   1971195.
• Зельдич, С. (2000), «Спектральное определение аналитических двуосесимметричных плоских областей», Геометрический и функциональный анализ , 10 (3): 628–677, arXiv : math/9901005 , doi : 10.1007/PL00001633 , S2CID   16324240

Внешние ссылки

• Моделирование, показывающее решения волнового уравнения в двух изоспектральных барабанах
• Изоспектральные барабаны Тоби Дрисколла из Университета Делавэра
• Некоторые плоские изоспектральные области Питера Бузера, Джона Хортона Конвея , Питера Дойла и Клауса-Дитера Земмлера
  • 3D-рендеринг гомофонных барабанов Бузера-Конвея-Дойла-Семмлера
• Барабаны, которые звучат одинаково, Иварс Петерсон на веб-сайте Математической ассоциации Америки
• Вайсштейн, Эрик В. , «Изоспектральные многообразия» , MathWorld
• Бенгурия, Рафаэль Д. (2001) [1994], «Собственное значение Дирихле» , Энциклопедия математики , EMS Press