Гипотеза Уильямсона

В комбинаторной математике, особенно в комбинаторной теории проектирования и комбинаторной теории матриц, гипотеза Уильямсона состоит в том, что матрицы Уильямсона порядка $n$ существуют для всех положительных целых чисел $n$ .Четыре симметричные и циркулянтные матрицы $A$ , $B$ , $C$ , $D$ называются матрицами Вильямсона, если их элементы $\pm 1$ и они удовлетворяют отношения

A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=4nI

где $I$ - единичная матрица порядка $n$ . Джон Уильямсон показал, что если $A$ , $B$ , $C$ , $D$ являются матрицами Уильямсона тогда

{\begin{bmatrix}A&B&C&D\\-B&A&-D&C\\-C&D&A&-B\\-D&-C&B&A\end{bmatrix}}

представляет собой матрицу Адамара порядка $4n$ . ^[1]Когда-то считалось вероятным, что матрицы Вильямсона существуют для всех порядков. $n$ и что структура матриц Уильямсона может обеспечить путь к доказательству гипотезы Адамара о том, что матрицы Адамара существуют для всех порядков. $4n$ . ^[2]Однако в 1993 году в результате исчерпывающего компьютерного поиска, проведенного Драгомиром Ж., гипотеза Уильямсона оказалась ложной. Джокович, показавший, что матрицы Вильямсона не существуют в порядке $n=35$ . ^[3] В 2008 году были дополнительно открыты контрпримеры 47, 53 и 59. ^[4]

Ссылки

^ Уильямсон, Джон (1944). «Определительная теорема Адамара и сумма четырех квадратов». Математический журнал Дьюка . 11 (1): 65–81. дои : 10.1215/S0012-7094-44-01108-7 . МР 0009590 .
^ Голомб, Соломон В.; Баумерт, Леонард Д. (1963). «Поиски матриц Адамара». Американский математический ежемесячник . 70 (1): 12–17. дои : 10.2307/2312777 . JSTOR 2312777 . МР 0146195 .
^ Джокович, Драгомир Ж. (1993). «Матрицы Вильямсона порядка $4n$ для $n=33,35,39$ " . Дискретная математика . 115 (1): 267–271. doi : 10.1016/0012-365X(93)90495-F . MR 1217635 .
^ Хольцманн, штат Вашингтон; Харагани, Х.; Тайфе-Резаи, Б. (2008). «Матрицы Вильямсона до порядка 59». Проекты, коды и криптография . 46 (3): 343–352. дои : 10.1007/s10623-007-9163-5 . МР 2372843 .

[1] Уильямсон, Джон (1944). «Определительная теорема Адамара и сумма четырех квадратов». Математический журнал Дьюка . 11 (1): 65–81. дои : 10.1215/S0012-7094-44-01108-7 . МР 0009590 .

[2] Голомб, Соломон В.; Баумерт, Леонард Д. (1963). «Поиски матриц Адамара». Американский математический ежемесячник . 70 (1): 12–17. дои : 10.2307/2312777 . JSTOR 2312777 . МР 0146195 .

[3] Джокович, Драгомир Ж. (1993). «Матрицы Вильямсона порядка $4n$ для $n=33,35,39$ " . Дискретная математика . 115 (1): 267–271. doi : 10.1016/0012-365X(93)90495-F . MR 1217635 .

[4] Хольцманн, штат Вашингтон; Харагани, Х.; Тайфе-Резаи, Б. (2008). «Матрицы Вильямсона до порядка 59». Проекты, коды и криптография . 46 (3): 343–352. дои : 10.1007/s10623-007-9163-5 . МР 2372843 .

[1]

[2]

[3]

[4]