Проблема встраивания Конна

Проблема вложения Конна , сформулированная Аленом Конном в 1970-х годах, является основной проблемой в теории алгебры фон Неймана . За это время проблема была переформулирована в нескольких различных областях математики. Дэн Войкулеску, развивая свою теорию свободной энтропии, обнаружил, что проблема встраивания Конна связана с существованием микросостояний. Некоторые результаты теории алгебры фон Неймана можно получить, предполагая положительное решение задачи. Проблема связана с некоторыми фундаментальными вопросами квантовой теории, что привело к осознанию того, что она также имеет важные последствия для информатики.

Задача допускает ряд эквивалентных формулировок. ^[1] Примечательно, что это эквивалентно следующим давним проблемам:

Гипотеза Кирхберга о QWEP в C*-алгебр теории
Проблема Цирельсона в квантовой теории информации
Предуал любой (сепарабельной) алгебры фон Неймана конечно представим в ядерном классе.

В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэнь объявили о результате квантовой теории сложности. ^[2] это подразумевает отрицательный ответ на проблему вложения Конна. ^[3]^[4] Однако в сентябре 2020 года в более раннем результате, который они использовали, была обнаружена ошибка; новое доказательство, позволяющее избежать предыдущего результата, было опубликовано в виде препринта в сентябре. ^[5] Общий обзор был опубликован в журнале Communications of ACM в ноябре 2021 года. ^[6] а статья, объясняющая связь между MIP*=RE и проблемой встраивания Конна, появилась в октябре 2022 года. ^[7]

Заявление

Позволять $\omega$ — свободный ультрафильтр натуральных чисел, и пусть R — типа II ₁ гиперконечный фактор со следом $\tau$ . Можно построить сверхдержаву $R^{\omega }$ следующим образом: пусть $l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}$ — алгебра фон Неймана последовательностей, ограниченных по норме, и пусть $I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}$ . Частное $R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }$ оказывается фактором II ₁ со следом $\tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })$ , где $(x_{n})_{n}$ представляет собой любую репрезентативную последовательность $x$ .

Проблема вложения Конна спрашивает, может ли каждый типа II ₁ фактор в сепарабельном гильбертовом пространстве быть вложен в некоторое $R^{\omega }$ .

Положительное решение проблемы означало бы, что инвариантные подпространства существуют для большого класса операторов в _{типа II 1} факторах ( Уффе Хаагеруп ); все счетные дискретные группы гиперлинейны . Положительное решение проблемы будет подразумеваться равенством между свободной энтропией $\chi ^{*}$ и свободная энтропия, определяемая микросостояниями ( Дэн Войкулеску ). В январе 2020 года группа исследователей ^[2] утверждал, что решил проблему отрицательно, т. е. существуют факторы фон Неймана типа II ₁ , которые не встраиваются в сверхстепень $R^{\omega }$ гиперконечного фактора II ₁ .

Класс изоморфизма $R^{\omega }$ не зависит от ультрафильтра тогда и только тогда, когда верна гипотеза континуума (Ге-Хадвин и Фара-Харт-Шерман), но такое свойство вложения не зависит от ультрафильтра, поскольку алгебры фон Неймана, действующие в сепарабельных гильбертовых пространствах, грубо говоря, , очень маленький.

Задача допускает ряд эквивалентных формулировок. ^[1]

Конференции, посвященные проблеме вложения Конна

Семинар Конна по проблеме встраивания и квантовой теории информации; Университет Вандербильта в Нэшвилле, Теннесси; 1–7 мая 2020 г. ( перенесено; будет объявлено позже )
Многогранная проблема вложения Конна; БИРС, Канада; 14–19 июля 2019 г.
Зимняя школа: Проблема вложения Конна и квантовая теория информации; Университет Осло, 7–11 января 2019 г.
Семинар по софическим и гиперлинейным группам и гипотезе вложения Конна; UFSC Флорианополис, Бразилия; 10–21 июня 2018 г.
Свойства аппроксимации в операторных алгебрах и эргодической теории; Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе; 30 апреля – 5 мая 2018 г.
Операторные алгебры и квантовая теория информации; Институт Анри Пуанкаре, Париж; декабрь 2017 г.
Семинар по операторным пространствам, гармоническому анализу и квантовой вероятности; ИКМАТ, Мадрид; 20 мая – 14 июня 2013 г.
Семинар Филдса по проблеме вложения Конна - Университет Оттавы, 16–18 мая 2008 г.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэдвин, Дон (2001). «Некоммутативная проблема моментов» . Труды Американского математического общества . 129 (6): 1785–1791. дои : 10.1090/S0002-9939-01-05772-0 . JSTOR 2669132 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (2020). «МИП*=РЕ». arXiv : 2001.04383 [ квант-ph ].
^ Кастельвекки, Давиде (2020). «Насколько «жутким» является квантовая физика? Ответ может быть неисчислимым» . Природа . 577 (7791): 461–462. Бибкод : 2020Natur.577..461C . дои : 10.1038/d41586-020-00120-6 . ПМИД 31965099 .
^ Хартнетт, Кевин (4 марта 2020 г.). «Знаковое каскадное доказательство в области компьютерных наук через физику и математику» . Журнал Кванта . Проверено 9 марта 2020 г.
^ Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (27 сентября 2020 г.). «Квантовая надежность классического теста низкой индивидуальной степени». arXiv : 2009.12982 [ квант-ph ].
^ Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (ноябрь 2021 г.). «МИП* = РЕ» . Коммуникации АКМ . 64 (11): 131–138. дои : 10.1145/3485628 . S2CID 210165045 .
^ Исаак Голдбринг (октябрь 2022 г.), «Проблема вложения Конна: экскурсия» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 58 (4): 503–560, doi : 10.1090/bull/1768 , S2CID 237940159

Дальнейшее чтение

Капраро, Валерио (2010). «Обзор гипотезы вложения Конна». arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
Фара, И.; Харт, Б.; Шерман, Д. (2013). «Теория моделей операторных алгебр I: устойчивость». Бюллетень Лондонского математического общества . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . дои : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID 15024863 .
Ге; Хэдвин (2001). «Ультрапроизведения C*-алгебр». Последние достижения в теории операторов и смежные темы . Теория операторов: достижения и приложения. Том. 127. С. 305–326. дои : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2 .
Коллинз, Бенуа; Дайкема, Кен (2008). «Линеаризация проблемы вложения Конна» (PDF) . Нью-Йоркский математический журнал . 14 : 617–641.
Шерман, Дэвид (2008). «Заметки об автоморфизмах ультрастепеней II ₁ факторов». arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
Пизье, Жиль . «Тензорные произведения C*-алгебр и операторных пространств: проблема Конна-Кирхберга» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 апреля 2021 г. Проверено 25 января 2020 г.

[cep-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэдвин, Дон (2001). «Некоммутативная проблема моментов» . Труды Американского математического общества . 129 (6): 1785–1791. дои : 10.1090/S0002-9939-01-05772-0 . JSTOR 2669132 .

[Videck-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (2020). «МИП*=РЕ». arXiv : 2001.04383 [ квант-ph ].

[3] Кастельвекки, Давиде (2020). «Насколько «жутким» является квантовая физика? Ответ может быть неисчислимым» . Природа . 577 (7791): 461–462. Бибкод : 2020Natur.577..461C . дои : 10.1038/d41586-020-00120-6 . ПМИД 31965099 .

[4] Хартнетт, Кевин (4 марта 2020 г.). «Знаковое каскадное доказательство в области компьютерных наук через физику и математику» . Журнал Кванта . Проверено 9 марта 2020 г.

[5] Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (27 сентября 2020 г.). «Квантовая надежность классического теста низкой индивидуальной степени». arXiv : 2009.12982 [ квант-ph ].

[6] Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (ноябрь 2021 г.). «МИП* = РЕ» . Коммуникации АКМ . 64 (11): 131–138. дои : 10.1145/3485628 . S2CID 210165045 .

[7] Исаак Голдбринг (октябрь 2022 г.), «Проблема вложения Конна: экскурсия» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 58 (4): 503–560, doi : 10.1090/bull/1768 , S2CID 237940159

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]