Гипотеза фон Неймана
В математике гипотеза фон Неймана утверждала, что тогда и только группа G неаменабельна тогда, когда G содержит подгруппу , которая является свободной группой с двумя образующими . Гипотеза была опровергнута в 1980 году.
В 1929 году, во время работы над парадоксом Банаха-Тарского , Джон фон Нейман определил концепцию аменабельных групп аменабельная группа не содержит свободной подгруппы ранга 2. и показал, что ни одна -аменабельная группа содержит свободную подгруппу по двум образующим, была сделана рядом разных авторов в 1950-х и 1960-х годах. Хотя имя фон Неймана широко ассоциируется с этой гипотезой, ее первое письменное появление, по-видимому, связано с Махлон Марш Дэй в 1957 году.
— Альтернатива Титса фундаментальная теорема , которая, в частности, устанавливает гипотезу в классе линейных групп .
Исторически первым потенциальным контрпримером является Томпсона F. группа Хотя ее аменабельность является широко открытой проблемой доказал ложность общей гипотезы , в 1980 году Александр Ольшанский ; он продемонстрировал, что группы монстров Тарского построенные им , которые, как легко видеть, не имеют свободных подгрупп ранга 2, не поддаются. Два года спустя Сергей Адян показал, что некоторые группы Бернсайда также являются контрпримерами. Ни один из этих контрпримеров не является конечно представленным , и в течение нескольких лет считалось возможным, что гипотеза верна для конечно определенных групп. Однако в 2003 году Александр Ольшанский и Марк Сапир представили коллекцию конечно определенных групп, не удовлетворяющих этой гипотезе.
В 2013 году Николя Моно нашел простой контрпример этой гипотезе. Группа , заданная кусочно-проективными гомеоморфизмами прямой, удивительно проста для понимания. Несмотря на то, что она не аменабельна, она напрямую разделяет многие известные свойства аменабельных групп. В 2013 году Яш Лодха и Джастин Тэтч Мур выделили конечно определенную неаменабельную подгруппу группы Моно. Это дает первый конечно представленный контрпример без кручения и допускает представление с 3 генераторами и 9 отношениями. Позже Лодха показал, что эта группа удовлетворяет свойству , что является более сильным свойством конечности.
Ссылки
[ редактировать ]- Адян, Сергей (1982), "Случайные блуждания на свободных периодических группах", Изв. Акад. Наук СССР, сер. Мат. (на русском языке), 46 (6): 1139–1149, 1343, Збл 0512.60012
- Дэй, Махлон М. (1957), «Аменабельные полугруппы», Ill. J. Math. , 1 : 509–544, Збл 0078.29402
- Ольшанский, Александр (1980), "К вопросу о существовании инвариантного среднего на группе", Успехи матем. Наук , 35 (4): 199–200, Збл 0452.20032.
- Ольшанский, Александр; Сапир, Марк (2003), «Неаменабельные конечно определенные циклические группы кручения», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 96 (1): 43–169, arXiv : math/0208237 , doi : 10.1007/s10240-002 -0006-7 , S2CID 122990460 , Збл 1050.20019
- Моно, Николя (2013), «Группы кусочно-проективных гомеоморфизмов», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 110 (12): 4524–4527, arXiv : 1209.5229 , Bibcode : 2013PNAS..110.4524M , doi : 10.1073/pnas.1218426110 , Збл 1305.57002
- Лодха, Яш; Мур, Джастин Тэтч (2016), «Безымянная конечно определенная группа кусочно-проективных гомеоморфизмов», Группы, геометрия и динамика , 10 (1): 177–200, arXiv : 1308.4250v3 , doi : 10.4171/GGD/347 , MR 3460335
- Лодха, Яш (2020), «Неизвестный тип группа кусочно-проективных гомеоморфизмов», Journal of Topology , 13 (4): 1767–1838, doi : 10.1112/topo.12172 , S2CID 228915338