Альтернатива сиськам

В математике альтернатива Титса , названная в честь Жака Титса , является важной теоремой о структуре конечно порожденных линейных групп .

Заявление

Теорема, доказанная Титсом, говорится следующее.

Теорема — Пусть $G$ — конечно порожденная линейная группа над полем. Тогда возникают две следующие возможности:

• или $G$ разрешима виртуально ) т.е. имеет разрешимую подгруппу индекса конечного (
• или она содержит неабелеву свободную группу (т. е. имеет подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими).

Последствия

Линейная группа не аменабельна тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу (таким образом, гипотеза фон Неймана , хотя и неверна в общем случае, верна для линейных групп).

Альтернатива сиськам — важный ингредиент в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста . Фактически альтернатива по существу устанавливает результат для линейных групп (она сводит его к случаю разрешимых групп, с которым можно разобраться элементарными средствами).

Обобщения

В геометрической теории групп , что группа G говорят удовлетворяет альтернативе Титса , если для каждой подгруппы H группы G либо H виртуально разрешима, либо H содержит неабелеву свободную подгруппу (в некоторых версиях определения это условие требуется выполнять только для все конечно порожденные подгруппы группы G ).

Примерами групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, которые либо не являются линейными, либо, по крайней мере, не являются линейными, являются:

• Гиперболические группы
• Сопоставление групп классов ;
• Выход(Фн) ;
• Некоторые группы бирациональных преобразований алгебраических поверхностей .

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• группа Григорчука ;
• Томпсона F. Группа

Доказательство

Доказательство оригинальной альтернативы Сиськам это, глядя на Зариского закрытие $G$ в $\mathrm {GL} _{n}(k)$. Если она разрешима, то группа разрешима. В противном случае человек смотрит на изображение $G$ в компоненте Леви. Если оно некомпактно, то в виде пинг-понга доказательство завершается аргументом . Если оно компактно, то либо все собственные значения элементов образа $G$ являются корнями из единицы, и тогда образ конечен, или можно найти вложение $k$ в котором можно применить стратегию пинг-понга.

Обратите внимание, что доказательство всех приведенных выше обобщений также опирается на аргумент пинг-понга.