Теорема Громова о группах полиномиального роста

В геометрической теории групп теорема Громова о группах полиномиального роста , впервые доказанная Михаилом Громовым , характеризует конечно порожденные группы полиномиального нильпотентные роста, как те группы, которые имеют подгруппы конечного индекса .

Заявление

Скорость роста группы — это четко определенное понятие из асимптотического анализа . Сказать, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост, означает, что количество элементов длины не более n (относительно симметричного порождающего набора) ограничено сверху полиномиальной функцией p ( n ). Тогда порядок роста — это наименьшая степень любой такой полиномиальной функции p .

G Нильпотентная группа — это группа, нижний центральный ряд которой заканчивается единичной подгруппой.

Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса.

Темпы роста нильпотентных групп

Существует обширная литература по темпам роста, ведущая к теореме Громова. Более ранний результат Джозефа А. Вольфа показал, что если G — конечно порожденная нильпотентная группа, то группа имеет полиномиальный рост. Ив Гиварк и независимо Хайман Басс (с разными доказательствами) вычислил точный порядок полиномиального роста. Пусть G — конечно порожденная нильпотентная группа с нижним центральным рядом

$G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .$

, факторгруппа Gk _{является конечно порожденной} / Gk _{В частности +1} абелевой группой.

Формула Басса – Гиварка утверждает, что порядок полиномиального роста G равен

$d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})$

где:

ранг обозначает ранг абелевой группы , т.е. наибольшее число независимых элементов без кручения абелевой группы.

В частности, из теоремы Громова и формулы Басса – Гиварка следует, что порядок полиномиального роста конечно порожденной группы всегда является либо целым числом, либо бесконечностью (за исключением, например, дробных степеней).

Еще одно хорошее применение теоремы Громова и формулы Басса – Гиварша касается квазиизометрической жесткости конечно порожденных абелевых групп: любая группа, которая квазиизометрична конечно порожденной абелевой группе, содержит свободную абелеву группу конечного индекса.

Доказательства теоремы Громова

Для доказательства этой теоремы Громов ввёл сходимость для метрических пространств. Эта сходимость, называемая теперь сходимостью Громова–Хаусдорфа , в настоящее время широко используется в геометрии.

Относительно простое доказательство теоремы было найдено Брюсом Кляйнером . Позже Теренс Тао и Иегуда Шалом модифицировали доказательство Кляйнера, чтобы сделать по существу элементарное доказательство, а также версию теоремы с явными оценками. Теорема Громова следует также из классификации приближенных групп, полученной Брейяром, Грином и Тао. Простое и краткое доказательство, основанное на методах функционального анализа, дал Одзава .

Гипотеза о разрыве

Помимо теоремы Громова можно задаться вопросом, существует ли разрыв в спектре роста конечно порожденной группы чуть выше полиномиального роста, отделяющий практически нильпотентные группы от других. Формально это означает, что существовала бы функция $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ такая, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда ее функция роста является $O(f(n))$. Такая теорема была получена Шаломом и Тао с явной функцией $n^{\log \log(n)^{c}}$ для некоторых $c>0$. Все известные группы с промежуточным ростом (т.е. как суперполиномиальные, так и субэкспоненциальные) по существу являются обобщениями группы Григорчука и имеют более быстрые функции роста; поэтому все известные группы растут быстрее, чем $e^{n^{\alpha }}$, с $\alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\approx 0.767$, где $\eta$ является действительным корнем многочлена $x^{3}+x^{2}+x-2$.

Предполагается, что истинная нижняя граница темпов роста групп с промежуточным ростом равна $e^{\sqrt {n}}$. Это известно как гипотеза о разрыве .

См. также

• Теорема Брейяра – Грина – Тао