Лемма о пинг-понге

В математике лемма о пинг-понге или лемма о настольном теннисе — это любое из нескольких математических утверждений, которые гарантируют, что несколько элементов в группе, действующих на множество свободно, свободную этой подгруппу порождают группы.

История

Спор о пинг-понге восходит к концу 19 века, и его обычно приписывают Феликсу Кляйну , который использовал его для изучения подгрупп клейновых групп , то есть дискретных групп изометрий гиперболического 3 -пространства или, что то же самое, преобразований Мёбиуса сферы Римана . Лемма о пинг-понге была ключевым инструментом, использованным Жаком Титсом в его статье 1972 года. содержащий доказательство известного результата, теперь известного как альтернатива Титса . Результат утверждает, что конечно порожденная линейная группа либо виртуально разрешима , либо содержит свободную подгруппу ранга два. Лемма о пинг-понге и ее варианты широко используются в геометрической топологии и геометрической теории групп .

Современные версии леммы о пинг-понге можно найти во многих книгах, таких как Lyndon & Schupp, арфы, Бридсон и Хефлигер и другие.

Официальные заявления

Лемма о пинг-понге для нескольких подгрупп

Эта версия леммы о пинг-понге гарантирует, что несколько подгрупп группы, действующей на множестве, генерируют бесплатный продукт . Следующее утверждение появляется в работе Олейника и Сучанского (2004): доказательство взято из de la Harpe (2000).

Пусть G — группа, действующая на множестве X , и пусть H ₁ , H ₂ , ..., Hk _— подгруппы группы G , где k ≥ 2, такие, что хотя бы одна из этих подгрупп имеет порядок больше 2.Предположим, что существуют попарно непересекающиеся непустые подмножества X ₁ , X ₂ , ..., X _k множества X такие, что выполнено следующее:

• Для любого i ≠ s и для любого h из H _i , h ≠ 1, имеем h ( X _s ) ⊆ X _i .

Затем $$\langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.$$

Доказательство

По определению свободного произведения достаточно проверить, что данное (непустое) приведенное слово представляет собой нетривиальный элемент $G$. Позволять $w$ быть таким длинным словом $m\geq 2$, и пусть $$w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},$$ где ${\textstyle w_{i}\in H_{\alpha _{i}}}$ для некоторых ${\textstyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}}$. С ${\textstyle w}$ сокращается, мы имеем $\alpha _{i}\neq \alpha _{i+1}$ для любого $i=1,\dots ,m-1$ и каждый $w_{i}$ отличается от идентичности элемента $H_{\alpha _{i}}$. Затем мы позволяем $w$ действовать на элемент одного из множеств ${\textstyle X_{i}}$. Поскольку мы предполагаем, что хотя бы одна подгруппа $H_{i}$ имеет порядок не ниже 3, без ограничения общности можно считать, что $H_{1}$ имеет порядок не ниже 3. Сначала предположим, что $\alpha _{1}$и $\alpha _{m}$ оба равны 1 (что подразумевает $m\geq 3$). Отсюда мы рассматриваем $w$ действуя на $X_{2}$. Получаем следующую цепочку вложений: $$w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha _{2}})\subseteq X_{1}.$$

По предположению, что разные $X_{i}$непересекающиеся, мы заключаем, что $w$ действует нетривиально на некотором элементе $X_{2}$, таким образом $w$ представляет собой нетривиальный элемент $G$.

Для завершения доказательства необходимо рассмотреть три случая:

• если $\alpha _{1}=1,\,\alpha _{m}\neq 1$, тогда пусть $h\in H_{1}\setminus \{w_{1}^{-1},1\}$ (такой $h$ существует, поскольку по предположению $H_{1}$ имеет порядок не менее 3);
• если $\alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}=1$, тогда пусть $h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}$;
• и если $\alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}\neq 1$, тогда пусть $h\in H_{1}\setminus \{1\}$.

В каждом случае $hwh^{-1}$ после сокращения становится сокращенным словом с первой и последней буквой в $H_{1}$. Окончательно, $hwh^{-1}$ представляет собой нетривиальный элемент $G$и так же $w$. Это доказывает утверждение.

Лемма о пинг-понге для циклических подгрупп

Пусть G действующая на множестве X. — группа , Пусть a ₁ , ..., a _k — элементы группы G бесконечного порядка , где k ≥ 2. Предположим, что существуют непересекающиеся непустые подмножества.

х ₁ ⁺ , ..., Х _к ⁺ и Х ₁ ^– , ..., Х _к ^–

X со следующими свойствами:

• а _я X − X₍ ^– ) ⊆ X _я ⁺ для я = 1,..., к ;
• а _с ⁻¹ ( Х - Х _я ⁺ ) ⊆ X _я ^– для i = 1, ..., k .

Тогда подгруппа H = ⟨ a ₁ , ..., a _k ⟩ ≤ G порожденная , a ₁ , ..., a _k, со свободна свободным базисом { a ₁ , ..., a _k } .

Доказательство

Это утверждение является следствием версии для общих подгрупп, если положить X _i = X _i ⁺ ∪ Икс _я ⁻ и пусть ЧАС _я знак равно ⟨ а _я ⟩ .

Примеры

Пример специальной линейной группы

Чтобы доказать это, можно использовать лемму о пинг-понге. что подгруппа H = ⟨ A , B ⟩ ≤ SL ₂ ( Z ) , порожденная матрицами $$A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$$ и $$B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}$$свободен от второго ранга .

Доказательство

Действительно, пусть H ₁ = ⟨ A ⟩ и H ₂ = ⟨ B ⟩ — циклические подгруппы в SL ₂ ( Z ), порожденные A и B соответственно. Несложно проверить, что A и B — элементы бесконечного порядка в SL ₂ ( Z ) и что $$H_{1}=\{A^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}$$и $$H_{2}=\{B^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}.$$

стандартное действие SL ( ₂ ) Z R на Рассмотрим ² линейными преобразованиями . Помещать $$X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}$$и $$X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.$$

, нетрудно проверить, Используя приведенные выше явные описания H ₁ и H ₂ что для каждого нетривиального g ∈ H ₁ имеем g ( X ₂ ) ⊆ X ₁ и что для любого нетривиального g ∈ H ₂ имеем g ( Икс ₁ ) ⊆ Икс ₂ . Используя альтернативную форму леммы о пинг-понге для двух подгрупп, данных выше, заключаем, что H = H ₁ ∗ H ₂ . группы H1 _Так и H2 _как бесконечны циклические , то H — свободная группа ранга два.

Пример словесно-гиперболической группы

Пусть G — словесно-гиперболическая группа без кручения , т. е. без неединичных элементов конечного порядка . Пусть g , h ∈ G — два некоммутирующих элемента, то есть такие, что gh ≠ hg . Тогда существует M ≥ 1 такое, что для любых целых чисел n ≥ M , m ≥ M подгруппа H = ⟨ g ^н , ч ^м ⟩ ≤ G свободен от второго ранга.

Эскиз доказательства

Группа G действует на гиперболической ∂G гомеоморфизмами границе своей . Известно, что если a в G — неединичный элемент, то a имеет ровно две различные неподвижные точки: a ^∞ и ​ ^−∞ в ∂ G и что a ^∞ является притягивающей неподвижной точкой а , ^−∞ представляет собой отталкивающую неподвижную точку .

Поскольку g и h не коммутируют, из основных фактов о словесно-гиперболических группах следует, что g ^∞ , г ^−∞ , ч ^∞ и ч ^−∞ это четыре различные точки в ∂G — . Возьмем непересекающиеся окрестности U ₊ , U _– , V ₊ и V _– точки g ^∞ , г ^−∞ , ч ^∞ и ч ^−∞ в ∂G соответственно .Тогда из свойств притягивания/отталкивания неподвижных точек g и h следует, что существует M ≥ 1 такое, что для любых целых чисел n ≥ M , m ≥ M мы имеем:

• г ^н (∂ G – U _– ) ⊆ U ₊
• г ^{− п} (∂ G – U ₊ ) ⊆ U _–
• час ^м (∂ G – V _– ) ⊆ V ₊
• час ^{− м} (∂ G – V ₊ ) ⊆ V _–

Теперь из леммы о пинг-понге следует, что H = ⟨ g ^н , ч ^м ⟩ ≤ G свободен от второго ранга.

Применение леммы о пинг-понге

• Лемма о пинг-понге используется в группах Клейна для изучения их так называемых подгрупп Шоттки . В контексте групп Клейна лемма о пинг-понге может быть использована, чтобы показать, что конкретная группа изометрий гиперболического трехмерного пространства не просто свободна , но также надлежащим образом разрывна и геометрически конечна .
• Подобные аргументы типа Шоттки широко используются в геометрической теории групп , особенно для подгрупп словесно-гиперболических групп. и для групп автоморфизмов деревьев.
• Лемма о пинг-понге используется также для изучения подгрупп типа Шоттки групп классов отображений римановых поверхностей , где множество, на котором действует группа классов отображений, является границей Терстона пространства Тейхмюллера . Аналогичный аргумент используется и при изучении подгрупп внешней группы автоморфизмов свободной группы.
• Одно из самых известных применений леммы о пинг-понге — в доказательстве Жаком Титсом так называемой альтернативы Титса для линейных групп . (см. также за обзор доказательства Титса и объяснение связанных с ним идей, включая использование леммы о пинг-понге).
• Существуют обобщения леммы о пинг-понге, которые производят не только бесплатные продукты , но также объединенные бесплатные продукты и расширения HNN . Эти обобщения используются, в частности, при доказательстве комбинационной теоремы Маскита для клейновых групп.
• Существуют также версии леммы о пинг-понге, которые гарантируют, что несколько элементов в группе порождают свободную полугруппу . Такие версии доступны как в общем контексте группового действия на наборе, так и в общем контексте группового действия на наборе. и для конкретных типов действий, например, в контексте линейных групп, группы , действующие на деревьях и другие.

См. также

• Бесплатная группа
• Бесплатный продукт
• Кляйнианская группа
• Альтернатива сиськам
• Слово-гиперболическая группа
• группа Шоттки