Геометрическая конечность

В геометрии группа изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечной, если она имеет корректную фундаментальную область . Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным, если его можно описать в терминах геометрически конечных групп .

Геометрически конечные многогранники

Выпуклый C многогранник C в гиперболическом пространстве называется геометрически конечным, если его замыкание в конформной компактификации гиперболического пространства обладает следующим свойством:

Для каждой точки x в C существует окрестность U такой точки x , что все грани C, встречающиеся с U, также проходят через x ( Ratcliffe 1994 , 12.4).

Например, каждый многогранник с конечным числом граней геометрически конечен. В гиперболическом пространстве размерности не более 2 каждый геометрически конечный многогранник имеет конечное число сторон, но существуют геометрически конечные многогранники размерности 3 и выше с бесконечным числом сторон. Например, в евклидовом пространстве R ^н размерности n ≥2 существует многогранник P с бесконечным числом сторон. Модель верхней полуплоскости n +1-мерного гиперболического пространства в R ^{п +1} проекты в Р ^н, а прообраз P относительно этой проекции представляет собой геометрически конечный многогранник с бесконечным числом сторон.

Геометрически конечный многогранник имеет только конечное число точек возврата, и все стороны, кроме конечного числа, пересекают одну из точек возврата.

Геометрически конечные группы

Дискретная группа G изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечной, если она имеет фундаментальную область C, которая является выпуклой, геометрически конечной и точной (каждая грань является пересечением C и gC для некоторого g ∈ G ) ( Рэтклифф 1994 , 12.4) . ).

В гиперболических пространствах размерности не выше 3 каждый точный, выпуклый фундаментальный многогранник для геометрически конечной группы имеет только конечное число сторон, но в размерностях 4 и выше существуют примеры с бесконечным числом сторон ( Рэтклифф 1994 , теорема 12.4). .6).

В гиперболических пространствах размерности не более 2 конечно порожденные дискретные группы геометрически конечны, но Гринберг (1966) показал, что существуют примеры конечно порожденных дискретных групп в размерности 3, которые не являются геометрически конечными.

Геометрически конечные многообразия

Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным , если оно имеет конечное число компонент, каждая из которых является фактором гиперболического пространства по геометрически конечной дискретной группе изометрий ( Рэтклифф 1994 , 12.7).

См. также

Теорема плотности для клейновых групп

Ссылки

Гринберг, Л. (1966), «Фундаментальные многогранники для клейнианских групп», Annals of Mathematics , Second Series, 84 : 433–441, doi : 10.2307/1970456 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970456 , MR 0200446
Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0