Свойства конечности групп

В математике группы свойства конечности — это набор свойств, которые позволяют использовать различные алгебраические и топологические инструменты, например групповые когомологии , для изучения группы. Это представляет наибольший интерес для изучения бесконечных групп.

Частными случаями групп со свойствами конечности являются конечно порожденные и конечно представимые группы.

Свойства топологической конечности

Учитывая целое число n ≥ 1, группа $\Gamma$ называется типом Fn _, если существует асферический CW-комплекс которого группа изоморфна , фундаментальная $\Gamma$ ( классифицирующее пространство для $\Gamma$ ) и чей n -остов конечен. Говорят, что группа имеет тип F _∞ , если она имеет тип F _n для каждого n . Она имеет тип F , если существует конечный асферический CW-комплекс, фундаментальной группой которого она является.

При малых значениях n эти условия имеют более классическую интерпретацию:

группа имеет тип F ₁ тогда и только тогда, когда она конечно порождена (роза с лепестками, индексированными конечным порождающим семейством, является 1-скелетом классифицирующего пространства, граф Кэли группы для этого порождающего семейства является 1- скелет его универсального чехла);

группа имеет тип F ₂ тогда и только тогда, когда она конечно определена ( комплекс представления , т. е. роза с лепестками, индексированными конечным порождающим набором, и 2-ячейками, соответствующими каждому отношению, является 2-скелетом классифицирующего пространства, универсальная оболочка которого имеет комплекс Кэли в качестве своего 2-скелета).

Известно, что для любого ≥ 1 существуют группы типа Fn _, не относящиеся к типу Fn _{n +1} . Конечные группы имеют тип F _∞ , но не тип F . группа Томпсона $F$ является примером группы без кручения типа F _∞ , но не типа F . ^[1]

Переформулировка свойства F _n состоит в том, что группа обладает им тогда и только тогда, когда она действует правильно разрывно, свободно и кокомпактно на CW-комплексе, гомотопические группы которого $\pi _{0},\ldots ,\pi _{n-1}$ исчезнуть. Другое свойство конечности можно сформулировать, заменив гомотопию гомологией: говорят, что группа имеет тип FH _n, если она действует, как указано выше, на CW-комплексе, у которого n первых групп гомологий равны нулю.

Алгебраические свойства конечности

Позволять $\Gamma$ быть группой и $\mathbb {Z} \Gamma$ его групповое кольцо . Группа $\Gamma$ называется типом FP _n, если существует разрешение тривиальной задачи $\mathbb {Z} \Gamma$ - модуль $\mathbb {Z}$ такие, что n первых членов являются конечно порожденными проективными $\mathbb {Z} \Gamma$ -модули. ^[2] Типы FP _∞ и FP определяются очевидным образом.

Это же утверждение с заменой проективных модулей свободными определяет классы FL _n при n ≥ 1, FL _∞ и FL .

Также возможно определить классы FP _n ( R ) и FL _n ( R ) для любого коммутативного кольца R , заменив групповое кольцо $\mathbb {Z} \Gamma$ к $R\Gamma$ в определениях выше.

Любое из условий F _n или FH _n влечет за собой FP _n и FL _n (над любым коммутативным кольцом). Группа имеет тип FP ₁ тогда и только тогда, когда она конечно порождена, ^[2] но для любого n ≥ 2 существуют группы типа FP _n , но не F _n . ^[3]

Групповые когомологии

Если группа имеет тип FP _n, то ее группы когомологий $H^{i}(\Gamma )$ конечно генерируются для $0\leq i\leq n$ . Если он имеет тип FP , то он имеет конечную когомологическую размерность. Таким образом, свойства конечности играют важную роль в теории когомологий групп.

Примеры

Конечные группы

Конечная циклическая группа $G$ действует свободно на единичной сфере в $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ , сохраняя CW-комплексную структуру с конечным числом ячеек в каждом измерении. ^[4] Поскольку эта единичная сфера стягиваема, каждая конечная циклическая группа имеет тип F _∞ .

Стандартное разрешение ^[5] для группы $G$ приводит к образованию сократимого CW-комплекса со свободным $G$ -действие, при котором ячейки размерности $n$ соответствуют $(n+1)$ -кортежи элементов $G$ . Это показывает, что каждая конечная группа имеет тип _F∞ .

Нетривиальная поскольку конечная группа никогда не относится к типу F, она имеет бесконечную когомологическую размерность. Отсюда также следует, что группа с нетривиальной периодической подгруппой никогда не имеет типа F .

Нильпотентные группы

Если $\Gamma$ — без кручения конечно порожденная нильпотентная группа , то она имеет тип F. ^[6]

Геометрические условия свойств конечности

Группы отрицательной кривизны ( гиперболические группы или группы CAT(0) ) всегда имеют тип F _∞ . ^[7] Такая группа имеет тип F тогда и только тогда, когда она не имеет кручения.

Например, кокомпактные S-арифметические группы в алгебраических группах над числовыми полями имеют тип F _∞ . Компактификация Бореля–Серра показывает, что это справедливо и для некокомпактных арифметических групп.

Арифметические группы над функциональными полями обладают совершенно разными свойствами конечности: если $\Gamma$ — арифметическая группа в простой алгебраической группе ранга $r$ над полем глобальной функции (например, $\mathbb {F} _{q}(t)$ ) то он имеет тип F _r, но не тип F _r+1 . ^[8]

Примечания

^ Браун, Кеннет; Геогеган, Росс (1984). «Бесконечномерная группа FP _∞ без кручения ». Математические изобретения . 77 (2): 367–381. дои : 10.1007/BF01388451 . МР 0752825 . S2CID 121877111 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Браун 1982 , с. 197.
^ Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007/s002220050168 , S2CID 120422255
^ Браун 1982 , с. 20.
^ Браун 1982 , с. 18.
^ Браун 1982 , с. 213.
^ Бридсон и Хефлигер 1999 , с. 439, 468.
^ Букс, Кай-Уве; Кёль, Ральф; Витцель, Стефан (2013). «Высшие свойства конечности редуктивных арифметических групп в положительной характеристике: теорема о ранге». Анналы математики . 177 : 311–366. arXiv : 1102.0428 . дои : 10.4007/анналы.2013.177.1.6 . S2CID 53991649 .

Ссылки

Бридсон, Мартин; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-64324-9 .
Браун, Кеннет С. (1982). Когомологии групп . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90688-6 .

[1] Браун, Кеннет; Геогеган, Росс (1984). «Бесконечномерная группа FP _∞ без кручения ». Математические изобретения . 77 (2): 367–381. дои : 10.1007/BF01388451 . МР 0752825 . S2CID 121877111 .

[FOOTNOTEBrown1982197-2] Перейти обратно: ^а ^б Браун 1982 , с. 197.

[3] Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007/s002220050168 , S2CID 120422255

[FOOTNOTEBrown198220-4] Браун 1982 , с. 20.

[FOOTNOTEBrown198218-5] Браун 1982 , с. 18.

[FOOTNOTEBrown1982213-6] Браун 1982 , с. 213.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999439,_468-7] Бридсон и Хефлигер 1999 , с. 439, 468.

[8] Букс, Кай-Уве; Кёль, Ральф; Витцель, Стефан (2013). «Высшие свойства конечности редуктивных арифметических групп в положительной характеристике: теорема о ранге». Анналы математики . 177 : 311–366. arXiv : 1102.0428 . дои : 10.4007/анналы.2013.177.1.6 . S2CID 53991649 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]