Презентационный комплекс

В геометрической теории групп комплекс представлений это двумерный клеточный комплекс, с любым представлением группы связанный G. — Комплекс имеет одну вершину и одну петлю в вершине для генератора G каждого . Для каждого отношения в презентации имеется одна 2-ячейка, граница которой прикреплена вдоль соответствующего слова .

Характеристики

• Фундаментальной группой презентационного комплекса является группа G. сама
• Универсальным покрытием комплекса представления является комплекс Кэли для G чей 1-скелет является графом Кэли группы G. ,
• Любой комплекс представлений для G является 2-скелетом пространства Эйленберга – Маклейна. $K(G,1)$.

Примеры

Позволять $G=\mathbb {Z} ^{2}$ — двумерная целочисленная решетка с представлением

$G=\langle x,y|xyx^{-1}y^{-1}\rangle .$

Тогда комплекс представлений для G представляет собой тор , полученный склеиванием противоположных сторон квадрата, 2-клетки, которые обозначены x и y . Все четыре угла квадрата склеены в одну вершину – 0-клетку комплекса представления, а пара, состоящая из продольного и меридианного кругов на торе, пересекающихся в вершине, составляет его 1-скелет.

Соответствующий комплекс Кэли представляет собой регулярное замощение плоскости единичными квадратами. 1-скелет этого комплекса представляет собой граф Кэли для $\mathbb {Z} ^{2}$.

Позволять $G=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$ быть Бесконечная группа диэдра с представлением $\langle a,b\mid a^{2},b^{2}\rangle$. Презентационный комплекс для $G$ является $\mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2}$, клиновая сумма проективных плоскостей . Для каждого пути к каждой петле приклеена одна 2-ячейка, что обеспечивает стандартную структуру ячеек для каждой проективной плоскости. Комплекс Кэли представляет собой бесконечную цепочку сфер.

Ссылки

• Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп , Комбинаторная теория групп . Перепечатка издания 1977 года ( «Результаты математики и ее границ» , том 89). Классика по математике. Springer Verlag , Берлин, 2001 г. ISBN   3-540-41158-5
• Рональд Браун и Йоханнес Хюбшманн, Тождества между отношениями , в топологии низкой размерности, London Math. Соц. Серия лекций 48 (под ред. Р. Брауна и Т.Л. Тикстуна, Cambridge University Press, 1982), стр. 153–202.
• Хог-Анджелони, Синтия, Мецлер, Вольфганг и Сирадски, Аллан Дж. (ред.). Двумерная гомотопия и комбинаторная теория групп , Серия лекций Лондонского математического общества, том 197. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (1993).