CAT( k ) пространство

В математике А. $\mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)$ пространство , где $k$ — действительное число, это особый тип метрического пространства . Интуитивно понятно, что треугольники в $\operatorname {CAT} (k)$ пространство (с $k<0$) «тоньше», чем соответствующие «модельные треугольники» в стандартном пространстве постоянной кривизны. $k$. В $\operatorname {CAT} (k)$ пространстве кривизна ограничена сверху $k$. Примечательным частным случаем является $k=0$; полный $\operatorname {CAT} (0)$ Пространства известны как « пространства Адамара » в честь французского математика Жака Адамара .

Первоначально Александров называл эти пространства « ${\mathfrak {R}}_{k}$ домены».Терминология $\operatorname {CAT} (k)$ был придуман Михаилом Громовым в 1987 году и является аббревиатурой от Эли Картана , Александра Даниловича Александрова и Виктора Андреевича Топоногова (хотя Топоногов никогда не исследовал в публикациях кривизну, ограниченную сверху).

Определения

Смоделируйте треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (средней) и нулевой (внизу) кривизны.

Для реального числа $k$, позволять $M_{k}$ обозначаем единственную полную односвязную поверхность (вещественное 2-мерное риманово многообразие ) постоянной кривизны $k$. Обозначим через $D_{k}$ диаметр ​ ​ $M_{k}$, что $\infty$ если $k\leq 0$ и есть ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ если $k>0$.

Позволять $(X,d)$ быть геодезическим метрическим пространством , т.е. метрическим пространством, для которого каждые две точки $x,y\in X$ может быть соединен геодезическим сегментом, длиной дуги параметризованной непрерывной кривой, $\gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y$, длина которого

$L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}$

это именно $d(x,y)$. Позволять $\Delta$ быть треугольником в $X$ с геодезическими сегментами в качестве сторон. $\Delta$ говорят, удовлетворяет $\mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)$ неравенство , если существует треугольник сравнения $\Delta '$ в модельном пространстве $M_{k}$, со сторонами той же длины, что и стороны $\Delta$, такие, что расстояния между точками на $\Delta$ меньше или равны расстояниям между соответствующими точками на $\Delta '$.

Геодезическое метрическое пространство $(X,d)$ Говорят, что это $\mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)$ пространство , если каждый геодезический треугольник $\Delta$ в $X$ с периметром менее $2D_{k}$ удовлетворяет $\operatorname {CAT} (k)$ неравенство. Метрическое пространство (не обязательно геодезическое) $(X,\,d)$ говорят, что это пространство с кривизной $\leq k$ если каждая точка $X$ имеет геодезически выпуклую $\operatorname {CAT} (k)$ район . Пространство с искривлением $\leq 0$ можно сказать, что он имеет неположительную кривизну .

Примеры

• Любой $\operatorname {CAT} (k)$ космос $(X,d)$ также является $\operatorname {CAT} (\ell )$ пространство для всех $\ell >k$. На самом деле справедливо обратное: если $(X,d)$ это $\operatorname {CAT} (\ell )$ пространство для всех $\ell >k$, то это $\operatorname {CAT} (k)$ космос.
• The $n$-мерное евклидово пространство $\mathbf {E} ^{n}$ с его обычной метрикой $\operatorname {CAT} (0)$ космос. В более общем смысле любое реальное внутреннее пространство продукта (не обязательно полное) представляет собой $\operatorname {CAT} (0)$ космос; и наоборот, если действительное нормированное векторное пространство является $\operatorname {CAT} (k)$ место для чего-то настоящего $k$, то это пространство внутреннего продукта.
• The $n$-мерное гиперболическое пространство $\mathbf {H} ^{n}$ с его обычной метрикой $\operatorname {CAT} (-1)$ пространство и, следовательно, $\operatorname {CAT} (0)$ пространство тоже.
• The $n$-мерная единичная сфера $\mathbf {S} ^{n}$ это $\operatorname {CAT} (1)$ космос.
• В более общем плане стандартное пространство $M_{k}$ это $\operatorname {CAT} (k)$ космос. Так, например, независимо от размерности сфера радиуса $r$ (и постоянная кривизна ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$) представляет собой ${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$ космос. Обратите внимание, что диаметр сферы равен $\pi r$ (при измерении на поверхности сферы) не $2r$ (измеряется путем прохождения через центр сферы).
• Пробитый самолет $\Pi =\mathbf {E} ^{2}\backslash \{\mathbf {0} \}$ это не $\operatorname {CAT} (0)$ пространство, поскольку оно не является геодезически выпуклым (например, точки $(0,1)$ и $(0,-1)$ не может быть соединено геодезической линией в $\Pi$ с длиной дуги 2), но каждая точка $\Pi$ есть $\operatorname {CAT} (0)$ геодезически выпуклая окрестность, поэтому $\Pi$ это пространство кривизны $\leq 0$.
• Закрытое подпространство $X$ из $\mathbf {E} ^{3}$ данный $X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ and }}z>0\}$ оснащенный индуцированной метрикой длины, не является $\operatorname {CAT} (k)$ место для любого $k$.
• Любой продукт из $\operatorname {CAT} (0)$ пространства $\operatorname {CAT} (0)$. (Это не относится к отрицательным аргументам.)

Пространства Адамара

Основная статья: пространство Адамара

В частном случае полное пространство CAT(0) также известно как пространство Адамара ; это по аналогии с ситуацией для многообразий Адамара . Пространство Адамара стягиваемо (оно имеет гомотопический тип одной точки), и между любыми двумя точками пространства Адамара существует единственный соединяющий их геодезический отрезок (фактически оба свойства справедливы и для общего, возможно, неполного, CAT (0) пробелы). Самое главное, что функции расстояния в пространствах Адамара выпуклы : если $\sigma _{1},\sigma _{2}$ — две геодезические в X, определенные на одном и том же интервале времени I , то функция $I\to \mathbb {R}$ данный

$t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}$

выпукло по t .

Свойства пространств CAT( k )

Позволять $(X,d)$ быть $\operatorname {CAT} (k)$ космос. Тогда выполняются следующие свойства:

• Учитывая любые две точки $x,y\in X$ (с $d(x,y)<D_{k}$ если $k>0$), существует уникальный геодезический сегмент, который соединяет $x$ к $y$; более того, этот отрезок непрерывно меняется в зависимости от его конечных точек.
• Каждая местная геодезическая в $X$ с длиной не более $D_{k}$ является геодезической.
• The $d$- шарики в $X$ радиуса менее $D_{k}/2$ (геодезически) выпуклы.
• The $d$-шарики в $X$ радиуса менее $D_{k}$ являются сжимаемыми.
• Приблизительные медианы близки к серединам в следующем смысле: для каждого $\lambda <D_{k}$ и каждый $\epsilon >0$ существует $\delta =\delta (k,\lambda ,\epsilon )>0$ такое, что если $m$ является серединой геодезического отрезка из $x$ к $y$ с $d(x,y)\leq \lambda$ и $$\max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,$$ затем $d(m,m')<\epsilon$.
• Из этих свойств следует, что для $k\leq 0$ универсальное покрытие для каждого $\operatorname {CAT} (k)$ пространство сжимаемо; в частности, высшие гомотопические группы такого пространства тривиальны . В качестве примера $n$-сфера $\mathbf {S} ^{n}$ показывает, что в целом надежды на $\operatorname {CAT} (k)$ пространство будет сжимаемым, если $k>0$.

Поверхности неположительной кривизны

В области, где кривизна поверхности удовлетворяет K ≤ 0 треугольники удовлетворяют CAT(0) неравенствам геометрии сравнения , изученным Картаном , Александровым и Топоноговым , и рассмотренным позже с другой точки зрения Брюа , геодезические и Титсом . Благодаря видению Громова , эта характеристика неположительной кривизны в терминах основного метрического пространства оказала глубокое влияние на современную геометрию и, в частности, на геометрическую теорию групп . Многие результаты, известные для гладких поверхностей и их геодезических, такие как метод Биркгофа построения геодезических с помощью его процесса укорочения кривых или теорема Ван Мангольдта и Адамара о том, что односвязная поверхность неположительной кривизны гомеоморфна плоскости, одинаково справедливы в этой более общая установка.

Неравенство сравнения Александрова

Медиана . в треугольнике сравнения всегда длиннее фактической медианы

Простейшая форма неравенства сравнения, впервые доказанная для поверхностей Александровым около 1940 года, гласит, что

Расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противоположной стороны всегда меньше соответствующего расстояния в треугольнике сравнения в плоскости с одинаковыми длинами сторон.

Неравенство следует из того, что если c ( t ) описывает геодезическую, параметризованную длиной дуги, и a — фиксированная точка, то

ж ( т ) знак равно d ( а , c ( т )) ² − т ²

является выпуклой функцией , т.е.

${\ddot {f}}(t)\geq 0.$

Взяв геодезические полярные координаты с началом в точке a так, что ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , выпуклость эквивалентна

$r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.$

При переходе к нормальным координатам u , v в точке c ( t ) это неравенство принимает вид

в ² + Ч ⁻¹ Х _р в ² ≥ 1 ,

где ( u , v ) соответствует единичному вектору ċ ( t ) . из неравенства H _r ≥ H , являющегося следствием неотрицательности производной вронскиана H и r Это следует из теории Штурма – Лиувилля .

См. также

• Теорема Картана–Адамара.

Ссылки

• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин Антон. «Александровская геометрия, глава 7» (PDF) . Проверено 7 апреля 2011 г.
• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин Антон. «Приглашение к геометрии Александрова: пространства CAT[0]». arXiv : 1701.03483 [ math.DG ].
• Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. VIII+112. ISBN  3-7643-5242-6 . МР   1377265 .
• Бергер, Марсель (2004). Панорама римановой геометрии . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65317-2 .
• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Фундаментальные начала математических наук 319. Берлин: Springer-Verlag. стр. XXII+643. ISBN  3-540-64324-9 . МР   1744486 .
• Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». Очерки по теории групп . Математика. наук. Рез. Инст. Опубл. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. МР   0919829 .
• Хиндави, Мохамад А. (2005). Асимптотические инварианты многообразий Адамара (PDF) . Пенсильванский университет: докторская диссертация.