Неположительная кривизна

В математике пространства неположительной кривизны встречаются во многих контекстах и образуют обобщение гиперболической геометрии . В категории можно римановых многообразий рассматривать секционную кривизну многообразия и требовать, чтобы эта кривизна была всюду меньше или равна нулю. Понятие кривизны распространяется на категорию геодезических метрических пространств , где можно использовать треугольники сравнения для количественной оценки кривизны пространства; в этом контексте пространства неположительной кривизны известны как (локально) пространства CAT(0) .

Римановы поверхности

Если $S$ является замкнутой ориентируемой римановой поверхностью следует , то из теоремы униформизации , что $S$ может быть наделен полной римановой метрикой с постоянной гауссовой кривизной либо $0$ , $1$ или $-1$ . В результате теоремы Гаусса – Бонне можно определить, что поверхности, имеющие риманову метрику постоянной кривизны, $0$ $-1$ т. е. римановы поверхности с полной римановой метрикой неположительной постоянной кривизны - это именно те поверхности, род которых не менее $1$ . Теорема об униформизации и теорема Гаусса-Бонне могут быть применены к ориентируемым римановым поверхностям с краем, чтобы показать, что те поверхности, которые имеют неположительную эйлерову характеристику, - это именно те поверхности, которые допускают риманову метрику неположительной кривизны. Следовательно, существует бесконечное семейство типов гомеоморфизма таких поверхностей, тогда как сфера Римана является единственной замкнутой ориентируемой римановой поверхностью постоянной гауссовой кривизны. $1$ .

Приведенное выше определение кривизны зависит от существования римановой метрики и, следовательно, лежит в области геометрии. Однако теорема Гаусса-Бонне гарантирует, что топология поверхности накладывает ограничения на полные римановы метрики, которые могут быть наложены на поверхность, поэтому изучение метрических пространств неположительной кривизны представляет жизненный интерес как в математических областях геометрии , так и в области математики. топология . Классическими примерами поверхностей неположительной кривизны являются евклидова плоскость и плоский тор (для кривизны $0$ ) и гиперболическая плоскость и псевдосфера (для кривизны $-1$ ). По этой причине эти метрики, а также римановы поверхности, на которых они лежат как полные метрики, называются соответственно евклидовыми и гиперболическими.

Обобщения

Характерные особенности геометрии римановых поверхностей неположительной кривизны используются для обобщения понятия неположительной кривизны за пределы изучения римановых поверхностей. При изучении многообразий или орбифолдов более высокой размерности используется понятие секционной кривизны , при котором внимание ограничивается двумерными подпространствами касательного пространства в данной точке. В размерах более $2$ Теорема о жесткости Мостоу -Прасада гарантирует, что гиперболическое многообразие конечной площади имеет уникальную полную гиперболическую метрику , поэтому изучение гиперболической геометрии в этой ситуации является неотъемлемой частью изучения топологии .

В произвольном геодезическом метрическом пространстве понятия гиперболичности Громова или пространства CAT(0) обобщают представление о том, что на римановой поверхности неположительной кривизны треугольники, стороны которых являются геодезическими, кажутся тонкими, тогда как в условиях положительной кривизны они кажутся тонкими. толстый . Это понятие неположительной кривизны позволяет понятию неположительной кривизны чаще всего применяться к графам и поэтому широко использоваться в областях комбинаторики и геометрической теории групп .

См. также

Лемма Маргулиса

Ссылки

Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. VIII+112. ISBN 3-7643-5242-6 . МИСТЕР 1377265
Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Фундаментальные основы математических наук. Том 319. Берлин: Springer-Verlag. стр. XXII+643. ISBN 3-540-64324-9 . МИСТЕР 1744486
Пападопулос, Афанас (2014) [2004]. Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна . Лекции ИРМА по математике и теоретической физике Том. 6. Цюрих: Европейское математическое общество. п. 298. ИСБН 978-3-03719-010-4 . МИСТЕР 2132506