Лемма Маргулиса

В дифференциальной геометрии лемма Маргулиса (названная в честь Григория Маргулиса ) является результатом о дискретных подгруппах изометрий неположительной кривизны риманова многообразия (например, гиперболического n-пространства ). Грубо говоря, там говорится, что в пределах фиксированного радиуса, обычно называемого постоянной Маргулиса , структура орбит такой группы не может быть слишком сложной. Точнее, в пределах этого радиуса вокруг точки все точки ее орбиты фактически находятся в орбите нильпотентной подгруппы (фактически ограниченного конечного числа таких).

неположительной кривизны для многообразий Лемма Маргулиса

Официальное заявление [ править ]

Лемму Маргулиса можно сформулировать следующим образом. ^[1]

Позволять $X$ — односвязное многообразие неположительной ограниченной секционной кривизны . Существуют константы $C,\varepsilon >0$ со следующим свойством. Для любой дискретной подгруппы $\Gamma$ группы изометрий $X$ и любой $x\in X$ , если $F_{x}$ это набор:

F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}

тогда подгруппа, порожденная $F_{x}$ содержит нильпотентную подгруппу с индексом меньше $C$ . Здесь $d$ — расстояние , индуцированное римановой метрикой.

Непосредственно эквивалентное утверждение можно дать следующим образом: для любого подмножества $F$ группы изометрий, если она удовлетворяет условию:

существует $x\in X$ такой, что $\forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon$ ;
группа $\langle F\rangle$ созданный $F$ дискретен

затем $\langle F\rangle$ содержит нильпотентную подгруппу индекса $\leq C$ .

Констант Маргулис [ править ]

Оптимальная константа $\varepsilon$ в постановке можно сделать зависящей только от размерности и нижней границы кривизны; обычно ее нормализуют так, чтобы кривизна находилась в диапазоне от -1 до 0. Обычно ее называют постоянной Маргулиса измерения.

Можно также рассмотреть константы Маргулиса для конкретных пространств. Например, была предпринята важная попытка определить константу Маргулиса гиперболических пространств (постоянной кривизны -1). Например:

оптимальная константа для гиперболической плоскости равна $2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629$ ; ^[2]
В общем случае постоянная Маргулиса $\varepsilon _{n}$ для гиперболического $n$ Известно, что -space удовлетворяет границам: $c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}$ для некоторых $0<c<1,K>0$ . ^[3]

Районы Зассенхауса [ править ]

Особо изученное семейство примеров многообразий отрицательной кривизны представляют собой симметрические пространства, ассоциированные с полупростыми группами Ли . В этом случае лемме Маргулиса можно дать следующую, более алгебраическую формулировку, восходящую к Гансу Цассенхаузу . ^[4]

Если $G$ — полупростая группа Ли, существует окрестность $\Omega$ личности в $G$ и $C>0$ такая, что любая дискретная подгруппа $\Gamma$ который генерируется $\Gamma \cap \Omega$ содержит нильпотентную подгруппу индекса $\leq C$ .

Такое соседство $\Omega$ называется районом Зассенхаус в $G$ . Если $G$ компактна, эта теорема сводится к теореме Джордана о конечных линейных группах .

Разложение «толстый-тонкий» [ править ]

Позволять $M$ быть римановым многообразием и $\varepsilon >0$ . Тонкая часть $M$ это подмножество точек $x\in M$ где приемистости радиус $M$ в $x$ меньше, чем $\varepsilon$ , обычно обозначается $M_{<\varepsilon }$ , а толстая часть — его дополнение, обычно обозначаемое $M_{\geq \varepsilon }$ . Имеет место тавтологическое разложение на непересекающийся союз. $M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }$ .

Когда $M$ имеет отрицательную кривизну и $\varepsilon$ меньше постоянной Маргулиса для универсального накрытия ${\widetilde {M}}$ , структура компонентов тонкой части очень проста. Ограничимся случаем гиперболических многообразий конечного объема. Предположим, что $\varepsilon$ меньше постоянной Маргулиса для $\mathbb {H} ^{n}$ и пусть $M$ быть гиперболой $n$ -многообразие конечного объема. Тогда его тонкая часть состоит из двух видов компонентов: ^[5]

Каспы : это неограниченные компоненты, они диффеоморфны плоскому $(n-1)$ -множество раз в строке;
Трубки Маргулиса: это окрестности замкнутых геодезических длиной $<\varepsilon$ на $M$ . Они ограничены и (если $M$ ориентируема) диффеоморфна окружности, умноженной на a $(n-1)$ -диск.

В частности, полное гиперболическое многообразие конечного объема всегда диффеоморфно внутренности компактного многообразия (возможно, с пустым краем).

Другие приложения [ править ]

Лемма Маргулиса — важный инструмент при изучении многообразий отрицательной кривизны. Помимо разложения «толстый-тонкий», есть и другие приложения:

Лемма о воротнике : это более точный вариант описания компактных компонентов тонких деталей. Он утверждает, что любая замкнутая геодезическая длины $\ell <\varepsilon$ на гиперболической поверхности содержится во вложенном цилиндре диаметром порядка $\ell ^{-1}$ .
Лемма Маргулиса дает немедленное качественное решение проблемы минимального кообъема среди гиперболических многообразий: поскольку объем трубки Маргулиса, как видно, ограничен снизу константой, зависящей только от размерности, отсюда следует, что существует положительная нижняя грань объемы гиперболических n -многообразий для любого n . ^[6]
Существование окрестностей Цассенхауза является ключевым моментом в доказательстве теоремы Каждана–Маргулиса .
можно восстановить Теорему Жордана–Шура как следствие существования окрестностей Цассенхауза.

См. также [ править ]

Неравенство Йоргенсена дает количественную формулировку для дискретных подгрупп группы изометрий. $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ трехмерного гиперболического пространства.

Примечания [ править ]

^ Ballmann, Gromov & Schroeder 1985 , Theorem 9.5.
^ Ямада, А. (1981). «Об универсальной константе Мардена фуксовых групп» . Кодай Математика. Дж . 4 (2): 266–277. дои : 10.2996/кмдж/1138036373 .
^ Белолипецкий, Михаил (2014). «Гиперболические орбифолды малого объема». Материалы ICM 2014 . Кён Мун С.А. arXiv : 1402.5394 .
^ Рагунатан 1972 , Определение 8.22.
^ Терстон 1997 , Глава 4.5.
^ Рэтклифф 2006 , с. 666.

Ссылки [ править ]

Баллманн, Вернер; Громов, Михаил; Шредер, Виктор (1985). Многообразия неположительной кривизны . Биркхаузер.
Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Издательство Спрингер . МР0507234 .
Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Спрингер. стр. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3 .
Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Издательство Принстонского университета.

[FOOTNOTEBallmannGromovSchroeder1985Theorem_9.5-1] Ballmann, Gromov & Schroeder 1985 , Theorem 9.5.

[2] Ямада, А. (1981). «Об универсальной константе Мардена фуксовых групп» . Кодай Математика. Дж . 4 (2): 266–277. дои : 10.2996/кмдж/1138036373 .

[3] Белолипецкий, Михаил (2014). «Гиперболические орбифолды малого объема». Материалы ICM 2014 . Кён Мун С.А. arXiv : 1402.5394 .

[FOOTNOTERaghunathan1972Definition_8.22-4] Рагунатан 1972 , Определение 8.22.

[FOOTNOTEThurston1997Chapter_4.5-5] Терстон 1997 , Глава 4.5.

[FOOTNOTERatcliffe2006666-6] Рэтклифф 2006 , с. 666.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]