Район Кусп

В математике окрестность возврата определяется как набор точек вблизи особенности возврата .

Окрестность возврата римановой поверхности

Окрестность возврата гиперболической римановой поверхности может быть определена в терминах ее фуксовой модели .

Предположим, что фуксова группа G содержит параболический элемент g. Например, элемент t ∈ SL(2, Z ), где

$t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}:z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1$

является параболическим элементом. Заметим, что все параболические элементы группы SL(2, C ) сопряжены с этим элементом. То есть, если g ∈ SL(2, Z ) параболичен, то $g=h^{-1}th$ для некоторого h ∈ SL(2, Z ).

Набор

$U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}$

где H — верхняя полуплоскость имеет

$\gamma (U)\cap U=\emptyset$

для любого $\gamma \in G-\langle g\rangle$ где $\langle g\rangle$ Под ним понимается группа, порожденная g . То есть γ действует собственно разрывно на U . Из-за этого можно видеть, что проекция U на H / G , таким образом, равна

$E=U/\langle g\rangle$.

Здесь E называется окрестностью точки возврата, соответствующей g .

Обратите внимание, что гиперболическая площадь E равна ровно 1 при вычислении с использованием канонической метрики Пуанкаре . Это легче всего увидеть на примере: рассмотрим пересечение U , определенного выше, с фундаментальной областью

$\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}$

модулярной группы , что было бы уместно для выбора T в качестве параболического элемента. При интеграции с элементом объема

$d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}$

результат тривиально равен 1. Площади всех окрестностей возврата равны этому в силу инвариантности площади сопряжения.