Неравенство Йоргенсена

В математической теории групп кляйнианских неравенство Йоргенсена — это неравенство, включающее следы элементов кляйниевой группы , доказанное Троэлсом Йоргенсеном ( 1976 ). ^{[ 1 ]}

Неравенство гласит, что если A и B порождают неэлементарную дискретную подгруппу SL ₂ ( C ), то

\left|\operatorname {Tr} (A)^{2}-4\right|+\left|\operatorname {Tr} \left(ABA^{-1}B^{-1}\right)-2\right|\geq 1.\,

Неравенство дает количественную оценку дискретности группы: многие стандартные следствия ограничивают элементы группы от идентичности. Например, А параболическое , если затем

\left\|A-I\right\|\ \left\|B-I\right\|\geq 1\,

где $\|\cdot \|$ обозначает обычную норму на SL ₂ ( C ). ^{[ 2 ]}

Другим следствием параболического случая является существование окрестностей возврата в гиперболических 3-многообразиях : если G является Клейнива группа и j — параболический элемент группы G с неподвижной точкой w , то существует оришар, основанный в точке w. который проецируется в окрестность возврата в факторпространстве $\mathbb {H} ^{3}/G$ . Неравенство Йоргенсена используется для доказательства того, что каждый элемент G , не имеющий неподвижной точки w, полностью перемещает оришар. выключен сам по себе и поэтому не влияет на локальную геометрию фактора в точке w ; интуитивно геометрия полностью определена параболическим элементом. ^{[ 3 ]}

См. также

Лемма Маргулиса представляет собой качественное обобщение на более общие пространства отрицательной кривизны.

Ссылки

^ Йоргенсен, Троэлс (1976), «О дискретных группах преобразований Мёбиуса», American Journal of Mathematics , 98 (3): 739–749, doi : 10.2307/2373814 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373814 , MR 0427627
^ Бердон, Алан Ф. (1983). Геометрия дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 104–114. ISBN 9781461211471 .
^ Маскит, Бернард (1988). Кляйнианские группы . Издательство Спрингер. п. 117. ИСБН 0387177469 .

[1] Йоргенсен, Троэлс (1976), «О дискретных группах преобразований Мёбиуса», American Journal of Mathematics , 98 (3): 739–749, doi : 10.2307/2373814 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373814 , MR 0427627

[2] Бердон, Алан Ф. (1983). Геометрия дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 104–114. ISBN 9781461211471 .

[Maskit-3] Маскит, Бернард (1988). Кляйнианские группы . Издательство Спрингер. п. 117. ИСБН 0387177469 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]