Псевдосфера

В геометрии псевдосфера — это поверхность с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Псевсфера радиуса R — это поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ имеющий кривизну −1/ R ² в каждой точке. Его название происходит от аналогии со сферой радиуса R , которая представляет собой поверхность кривизны 1/ R. ² . Этот термин был введен Эухенио Бельтрами в его статье 1868 года о моделях гиперболической геометрии .

Трактроид

Трактроид

поверхность можно также описать как результат вращения трактрисы асимптоты вокруг своей Эту же .По этой причине псевдосферу еще называют трактроидом . Например, (половина) псевдосферы (с радиусом 1) представляет собой поверхность вращения трактрисы, параметризованную

$t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .$

Это сингулярное пространство (экватор является сингулярностью), но вдали от особенностей оно имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну и, следовательно, локально изометрично гиперболической плоскости .

Название «псевдосфера» происходит потому, что она имеет двумерную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны, точно так же, как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной.Подобно тому, как сфера имеет в каждой точке положительно изогнутую геометрию купола , вся псевдосфера имеет в каждой точке отрицательно изогнутую геометрию седла .

Еще в 1693 году Христиан Гюйгенс обнаружил, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны. несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. данного радиуса края R площадь равна 4π Для R ² так же, как и для сферы, объём а ⁠ 2 / 3 ⁠ π R ³ и, следовательно, вдвое меньше, чем у сферы такого радиуса.

Псевдосфера является важным геометрическим предшественником математического искусства и педагогики .

Универсальное покрытие

Псевсфера и ее связь с тремя другими моделями гиперболической геометрии.

Полусфера кривизны −1 покрыта внутренностью орицикла . В модели полуплоскости Пуанкаре удобным выбором является часть полуплоскости с y ≥ 1 . Тогда покрывающее отображение является периодическим в направлении x с периодом 2 π и переводит орициклы y = c в меридианы псевдосферы, а вертикальные геодезические x = c в трактрисы, порождающие псевдосферу. Это отображение является локальной изометрией и, таким образом, демонстрирует часть y ≥ 1 верхней полуплоскости как универсальное накрывающее пространство псевдосферы. Точное отображение

$(x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}$

где

$t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}$

это параметризация приведенной выше трактрисы.

Гиперболоид

Деформация псевдосферы до части поверхности Дини . В дифференциальной геометрии это преобразование Ли . В соответствующих решениях уравнения синус-Гордон эта деформация соответствует бусту Лоренца статического 1- солитонного решения.

В некоторых источниках, использующих гиперболоидную модель гиперболической плоскости, гиперболоид называют псевдосферой . Такое использование слова связано с тем, что гиперболоид можно рассматривать как сферу воображаемого радиуса, заключенную в пространстве Минковского .

Псевдосферические поверхности

Псевдосферическая поверхность является обобщением псевдосферы. Поверхность, кусочно гладко погруженная в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной отрицательной кривизной представляет собой псевдосферическую поверхность. Трактроид — самый простой пример. Другие примеры включают поверхности Дини , дышащие поверхности и поверхность Куэна .

уравнения синус-

Псевдосферические поверхности могут быть построены из решений уравнения синус-Гордон . Эскизное доказательство начинается с перепараметризации трактроида с координатами, в которых уравнения Гаусса – Кодацци можно переписать в виде уравнения синус-Гордона.

В частности, для трактроида уравнения Гаусса – Кодацци представляют собой уравнение синус-Гордона, примененное к статическому солитонному решению, поэтому уравнения Гаусса – Кодацци удовлетворяются. В этих координатах первая и вторая фундаментальные формы записаны таким образом, чтобы было ясно, что гауссова кривизна равна -1 для любого решения уравнений синус-Гордон.

Тогда любое решение уравнения синус-Гордон можно использовать для определения первой и второй фундаментальных форм, которые удовлетворяют уравнениям Гаусса – Кодацци. Тогда существует теорема о том, что любой такой набор исходных данных можно использовать, по крайней мере, для локального задания погруженной поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$.

Несколько примеров решений синус-Гордон и соответствующих им поверхностей приведены ниже:

• Статический 1-солитон: псевдосфера
• Движущийся 1-солитон: поверхность Дини
• Решение для сапуна: поверхность сапуна
• 2-солитон: поверхность Куэна

См. также

• Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)
• поверхность Дини
• Рог Габриэля
• Гиперболоид
• Гиперболоидная структура
• Квазисфера
• Уравнение Синус – Гордон
• Сфера
• Поверхность революции
• Математика в тканевом искусстве

Ссылки

• Стиллвелл, Дж. (1996). Источники гиперболической геометрии . амер. Математика. Soc и Лондонская математика. Соц.
• Хендерсон, Д.В.; Таймина, Д. (2006). «Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей». Эстетика и математика (PDF) . Спрингер-Верлаг.
• Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . стр. 140, 145, 155.

Внешние ссылки

• Не Евклид
• Вязание гиперболической плоскости крючком: интервью с Дэвидом Хендерсоном и Дайной Тайминой
• Лекция Нормана Вильдбергера 16 , История математики, Университет Нового Южного Уэльса. Ютуб. 2012 май.
• Псевдосферические поверхности в виртуальном математическом музее.