Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии теорема Гильберта (1901) утверждает, что не существует полной регулярной поверхности. $S$ постоянной отрицательной гауссовой кривизны $K$ погружен в $\mathbb {R} ^{3}$. Эта теорема отвечает на вопрос, для отрицательного случая, какие поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$ можно получить изометрическим погружением полных многообразий постоянной кривизны .

История

• Теорема Гильберта была впервые рассмотрена Дэвидом Гильбертом в книге «О поверхностях постоянной кривизны» ( Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901), 87–99).
• Другое доказательство вскоре было дано Э. Хольмгреном в книге «Sur les Surfaces à Courbure Constante Négative» (1902).
• Далеко опережающее обобщение было получено Николаем Ефимовым в 1975 году.

Доказательство

Доказательство нескольких теоремы Гильберта сложное и требует лемм . Идея состоит в том, чтобы показать отсутствие изометрического погружения.

$\varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

самолета $S'$ в реальный космос $\mathbb {R} ^{3}$. Это доказательство в основном такое же, как и в статье Гильберта, хотя и основано на книгах До Карму и Спивака .

Наблюдения : Чтобы лечение было более управляемым, но без потери общности , кривизну можно считать равной минус единице, $K=-1$. Здесь нет потери общности, поскольку речь идет о постоянных кривизнах и подобиях $\mathbb {R} ^{3}$ умножать $K$ по константе. Экспоненциальная карта $\exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S$ является локальным диффеоморфизмом (фактически накрывающим отображением по теореме Картана-Адамара), поэтому он индуцирует скалярное произведение в касательном пространстве $S$ в $p$: $T_{p}(S)$. Более того, $S'$ обозначает геометрическую поверхность $T_{p}(S)$ с этим внутренним продуктом. Если $\psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ является изометрическим погружением, то же самое справедливо и для

$\varphi =\psi \circ \exp _{o}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$.

Первая лемма независима от остальных и будет использоваться в конце как встречное утверждение для отклонения результатов остальных лемм.

Лемма 1 : Площадь $S'$ бесконечен.
Эскиз доказательства:
Идея доказательства состоит в том, чтобы создать глобальную изометрию между $H$ и $S'$. Тогда, поскольку $H$ имеет бесконечную площадь, $S'$ тоже будет.
Тот факт, что гиперболическая плоскость $H$ имеет бесконечную площадь, получается путем вычисления поверхностного интеграла с соответствующими коэффициентами первой фундаментальной формы . Чтобы получить их, гиперболическую плоскость можно определить как плоскость со следующим скалярным произведением вокруг точки $q\in \mathbb {R} ^{2}$ с координатами $(u,v)$

$E=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =1\qquad F=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =0\qquad G=\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =e^{u}$

Поскольку гиперболическая плоскость неограничена, пределы интеграла бесконечны , а площадь можно вычислить через

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{u}dudv=\infty$

Далее необходимо создать карту, которая покажет, что глобальную информацию с гиперболической плоскости можно перенести на поверхность. $S'$, то есть глобальная изометрия. $\varphi :H\rightarrow S'$ будет отображением, областью действия которого является гиперболическая плоскость и изображением двумерного многообразия. $S'$, который уносит внутренний продукт с поверхности $S$ с отрицательной кривизной. $\varphi$ будут определены через экспоненциальное отображение, его обратное и линейную изометрию между их касательными пространствами,

$\psi :T_{p}(H)\rightarrow T_{p'}(S')$.

То есть

$\varphi =\exp _{p'}\circ \psi \circ \exp _{p}^{-1}$,

где $p\in H,p'\in S'$. То есть отправная точка $p\in H$ переходит в касательную плоскость от $H$ через обратную экспоненциальную карту. Затем перемещается из одной касательной плоскости в другую через изометрию $\psi$, а затем вниз на поверхность $S'$ с другой экспоненциальной картой.

Следующий шаг предполагает использование полярных координат , $(\rho ,\theta )$ и $(\rho ',\theta ')$, вокруг $p$ и $p'$ соответственно. Требование будет состоять в том, чтобы оси были сопоставлены друг с другом, то есть $\theta =0$ идет в $\theta '=0$. Затем $\varphi$ сохраняет первую фундаментальную форму.
В геодезической полярной системе гауссова кривизна $K$ может быть выражено как

$K=-{\frac {({\sqrt {G}})_{\rho \rho }}{\sqrt {G}}}$.

Кроме того, K является постоянным и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

$({\sqrt {G}})_{\rho \rho }+K\cdot {\sqrt {G}}=0$

С $H$ и $S'$ имеют одинаковую постоянную гауссову кривизну, то они локально изометричны ( теорема Миндинга ). Это означает, что $\varphi$ представляет собой локальную изометрию между $H$ и $S'$. Более того, из теоремы Адамара следует, что $\varphi$ также является покрывающей картой.
С $S'$ просто связано, $\varphi$ является гомеоморфизмом и, следовательно, (глобальной) изометрией. Поэтому, $H$ и $S'$ глобально изометричны, и поскольку $H$ имеет бесконечную площадь, то $S'=T_{p}(S)$ также имеет бесконечную площадь. $\square$

Лемма 2 : Для каждого $p\in S'$ существует параметризация $x:U\subset \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S',\qquad p\in x(U)$, такие, что кривые координатные $x$ представляют собой асимптотические кривые $x(U)=V'$ и образуем сеть Чебышева.

Лемма 3 : Пусть $V'\subset S'$ координатной окрестностью быть $S'$ такие, что координатные кривые являются асимптотическими кривыми по $V'$. Тогда площадь A любого четырехугольника, образованного координатными кривыми, меньше, чем $2\pi$.

Следующая цель – показать, что $x$ представляет собой параметризацию $S'$.

Лемма 4. Для фиксированного $t$, кривая $x(s,t),-\infty <s<+\infty$, представляет собой асимптотическую кривую с $s$ как длина дуги.

Следующие две леммы вместе с леммой 8 покажут существование параметризации $x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'$

Лемма 5 : $x$ является локальным диффеоморфизмом.

Лемма 6 : $x$ является сюръективным .

Лемма 7 : Это $S'$ существуют два дифференцируемых линейно независимых векторных поля, касающихся асимптотических кривых $S'$.

Лемма 8 : $x$ является инъективным .

Доказательство теоремы Гильберта:
Во-первых, будем предполагать, что изометрическое погружение с полной поверхности $S$ с отрицательной кривизной существует: $\psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

Как указано в наблюдениях, касательная плоскость $T_{p}(S)$ наделен метрикой, индуцированной экспоненциальным отображением $\exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S$ . Более того, $\varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ является изометрическим погружением, а леммы 5,6 и 8 показывают существование параметризации $x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'$ всего $S'$, такие, что координатные кривые $x$ представляют собой асимптотические кривые $S'$. Этот результат обеспечивался леммой 4. Следовательно, $S'$ можно накрыть объединением «координатных» четырехугольников $Q_{n}$ с $Q_{n}\subset Q_{n+1}$. По лемме 3 площадь каждого четырехугольника меньше $2\pi$. С другой стороны, по лемме 1 площадь $S'$ бесконечно, следовательно, не имеет границ. Это противоречие, и доказательство закончено. $\square$

См. также

• Теорема вложения Нэша утверждает, что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство.

Ссылки

• Манфредо ду Карму , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл, 1976.
• Спивак, Майкл , Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , Опубликуй или погибни, 1999.