Топологический дефект

В математике и физике , солитоны — это три тесно связанные идеи, каждая из которых обозначает структуры в физической системе , топологические солитоны и топологические дефекты устойчивые к возмущениям. Солитоны не будут распадаться, рассеиваться, рассеиваться или испаряться так, как это могли бы делать обычные волны (или решения, или структуры). Устойчивость возникает из-за препятствия распаду, что объясняется принадлежностью солитона к другому классу топологической гомотопии или классу когомологий , чем базовая физическая система. Проще говоря: невозможно непрерывно преобразовать систему с солитоном в систему без него. Математика, лежащая в основе топологической устойчивости, глубока и обширна, и было описано огромное количество систем, обладающих топологической устойчивостью. Это несколько усложняет классификацию.

Обзор

Оригинальный солитон наблюдался в XIX веке как одиночная волна воды в канале баржи. В конечном итоге это было объяснено, отметив, что уравнение Кортевега-Де Фриза (КдВ) , описывающее волны в воде, имеет гомотопически различные решения. Механизм пар Лакса обеспечил необходимое топологическое понимание.

Общая характеристика, необходимая для возникновения топологического солитона, заключается в том, что должно существовать некоторое уравнение в частных производных (УЧП), имеющее различные классы решений, причем каждый класс решений принадлежит отдельному гомотопическому классу. что базовое пространство — трехмерное пространство или четырехмерное пространство-время — можно рассматривать как имеющее топологию сферы , Во многих случаях это возникает потому , полученную одноточечной компактификацией : добавлением точки в бесконечности. Это разумно, поскольку обычно интересуются решениями, которые исчезают на бесконечности и поэтому являются однозначными в этой точке. ( Область значений ко -область ) переменных в дифференциальном уравнении можно также рассматривать как находящуюся в некотором компактном топологическом пространстве . В результате отображение пространства (времени) на переменные в УЧП можно описать как отображение сферы в (другую) сферу; классы таких отображений задаются гомотопическими группами сфер .

Другими словами: солитоны обнаруживаются, когда одно решение УЧП не может быть непрерывно преобразовано в другое; чтобы перейти от одного к другому, потребуется «разрезать» (как в случае с ножницами), но «разрезание» не является определенной операцией для решения УЧП. Аналогия с разрезанием возникает потому, что некоторые солитоны описываются как отображения $U(1)\to U(1)$, где $U(1)\simeq S^{1}$ это круг ; отображения возникают в расслоении кругов . Такие карты можно рассматривать как наматывание веревки на палку: нить нельзя оторвать, не перерезав ее. Наиболее распространенное распространение этой аналогии с обмотками - это карты $S^{3}\to S^{3}$, где первая трехсфера $S^{3}$ означает компактифицированное трехмерное пространство, а второе означает векторное поле . ( Трёхвектор , его направление плюс длина, можно рассматривать как определяющий точку на 3-сфере. Ориентация вектора задаёт подгруппу ортогональной группы. $O(3)$; длина фиксирует точку. Оно имеет двойное накрытие унитарной группой $SU(2)$, и $SU(2)\simeq S^{3}$.) Такие карты встречаются в PDE, описывающем векторные поля.

Топологический дефект — это, пожалуй, самый простой способ понять общую идею: это солитон, возникающий в кристаллической решетке , обычно изучаемый в контексте физики твердого тела и материаловедения . Прототипическим примером является винтовая дислокация ; это дислокация решетки, которая закручивается по спирали. Его можно перемещать из одного места в другое, толкая его, но нельзя удалить простыми непрерывными деформациями решетки. (Некоторые винтовые дислокации проявляются так, что их можно увидеть непосредственно невооруженным глазом: это усы германия .) Математическая устойчивость обусловлена ​​ненулевым числом витков карты окружностей. $S^{1}\to S^{1};$ стабильность дислокации приводит к жесткости содержащего ее материала. Одним из распространенных проявлений является многократное изгибание металлической проволоки: при этом возникает все больше и больше винтовых дислокаций (в виде пар дислокация-антидислокация), что делает изогнутую область все более жесткой и хрупкой . Продолжая подвергать эту область нагрузкам, она переполнится дислокациями и в конечном итоге приведет к разрушению и разрушению материала. Это можно рассматривать как фазовый переход , когда количество дефектов превышает критическую плотность , что позволяет им взаимодействовать друг с другом и «соединяться» и, таким образом, разъединять (разрушать) целое. Идея о том, что критические плотности солитонов могут приводить к фазовым переходам, является постоянной темой.

Вихри в сверхтекучих средах и закрепленные вихревые трубки в сверхпроводниках второго рода служат примерами топологических солитонов типа круговой карты в жидкостях. Более абстрактные примеры включают космические струны ; к ним относятся как вихревые решения уравнений поля Эйнштейна, так и вихревые решения в более сложных системах, связанных с материей и волновыми полями. Смерчи и вихри в воздухе не являются примерами солитонов: нет препятствий их распаду; они исчезнут через некоторое время. Математическое решение, описывающее торнадо, можно непрерывно трансформировать, ослабляя вращение, пока вращение не исчезнет. Детали, однако, зависят от контекста: Красное Пятно Юпитера Большое представляет собой циклон, для которого были предложены идеи солитонного типа для объяснения его многовековой стабильности.

Топологические дефекты изучались еще в 1940-х годах. Более абстрактные примеры возникли в квантовой теории поля . Скирмион или -х годах как модель нуклона ( нейтрона ) протона был предложен в 1960 и своей стабильностью обязан картированию $S^{3}\to SU(2)$. В 1980-х годах инстантон и связанные с ним решения моделей Весса-Зумино-Виттена приобрели значительную популярность, поскольку они предлагали непертурбативный подход к полю, в котором в противном случае доминировали пертурбативные вычисления, выполненные с помощью диаграмм Фейнмана . Это дало физикам толчок к изучению понятий гомотопии и когомологии , которые ранее были исключительной областью математики. Дальнейшее развитие выявило распространенность идеи: например, решение Шварцшильда и решение Керра уравнений поля Эйнштейна ( черные дыры ) можно признать примерами топологических гравитационных солитонов : это преобразование Белинского–Захарова .

Терминология топологического дефекта и топологического солитона или даже просто «солитона» варьируется в зависимости от области академических исследований. Таким образом, предполагаемый, но ненаблюдаемый магнитный монополь является физическим примером абстрактной математической структуры монополя ; как и Скирмион, он обязан своей устойчивостью принадлежности к нетривиальному гомотопическому классу отображений трехсфер. Для монополя целью является направление магнитного поля, а не направление изотопического спина . Монополи обычно называют «солитонами», а не «дефектами». Солиции связаны с топологическими инвариантами ; поскольку возможно более одной конфигурации, они будут помечены топологическим зарядом . Слово заряд используется в смысле заряда в физике .

Математический формализм может быть весьма сложным. Общие настройки PDE включают пучки волокон , а поведение самих объектов часто описывается в терминах голономии и монодромии . В абстрактных теориях, таких как теория струн , солитоны являются неотъемлемой частью игры: струны можно сгруппировать в узлы , как в теории узлов , и поэтому они устойчивы к развязыванию.

В общем, (квантовая) полевая конфигурация с солитоном в ней будет иметь более высокую энергию, чем основное состояние или вакуумное состояние , и поэтому будет называться топологическим возбуждением . Хотя гомотопические соображения предотвращают деформацию классического поля в основное состояние, такой переход возможен посредством квантового туннелирования . В этом случае в игру вступят высшие гомотопии. Так, например, базовое возбуждение может быть определено отображением в спиновой группе . Если квантовое туннелирование стирает различие между этим и основным состоянием, то следующая более высокая группа гомотопий определяется группой струн . Если процесс повторится, это приведет к подъему на башню Постникова . Это теоретические гипотезы; совсем другое дело – демонстрация таких концепций в реальных лабораторных экспериментах.

Формальное обращение

Существование топологического дефекта можно продемонстрировать всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит потому, что граница, на которой задаются условия, имеет нетривиальную гомотопическую группу , сохраняющуюся в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по своему гомотопическому классу . Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям , но и не могут распасться, распутаться или распутаться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отобразило бы их (гомотопически) в однородное или «тривиальное» решение.

Упорядоченная среда определяется как область пространства, описываемая функцией f ( r ), которая присваивает каждой точке области параметр порядка , а возможные значения пространства параметров порядка составляют пространство параметров порядка . Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, устойчивости и классификации топологических дефектов в этой среде.

Предположим, что — пространство параметров порядка среды, и пусть G — Ли группа преобразований на R. R Пусть H — подгруппа симметрии G среды. Тогда пространство параметров порядка можно записать как фактор группы Ли р знак равно г / ЧАС .

Если G — универсальное накрытие для G / H , то можно показать что π _n ( G / H ) = π _{n −1} ( H ), где π _i обозначает i - ю гомотопическую группу .

Различные типы дефектов среды могут характеризоваться элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка. Например, (в трёх измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π ₁ ( R ), точечные дефекты соответствуют элементам π ₂ ( R ), текстуры соответствуют элементам π ₃ ( R ). Однако дефекты, принадлежащие к одному и тому же классу сопряжения π ₁ ( R ), могут непрерывно деформироваться друг к другу, и, следовательно, различные дефекты соответствуют различным классам сопряженности.

Поэнару и Тулуза показали, что пересекающиеся дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π ₁ ( R ).

Примеры

Топологические дефекты возникают в уравнениях в частных производных и считаются водить Фазовые переходы в физике конденсированного состояния .

Подлинность топологического дефекта зависит от природы вакуума, к которому будет стремиться система, если пройдет бесконечное время; Ложные и истинные топологические дефекты можно отличить, если дефект находится в ложном вакууме и истинном вакууме соответственно.

УЧП с уединенной волной

Примеры включают солитон или уединенную волну, которая возникает в точно решаемых моделях , таких как

• винтовые дислокации в кристаллических материалах,
• Скирмион в квантовой теории поля,
• Магнитный скирмион в конденсированном состоянии,
• Топологические солитоны модели Весса –Зумино–Виттена .

Лямбда-переходы

Основная статья: Лямбда-переход

Топологические дефекты лямбда-перехода класса универсальности системы, в том числе:

• Винтовые/краевые дислокации в жидких кристаллах .
• «Трубки» магнитного потока, известные как флаксоны в сверхпроводниках , и
• Вихри в сверхтекучих средах .

Космологические дефекты

Топологические дефекты космологического типа являются чрезвычайно высокоэнергетическими. явления, производство которых считается нецелесообразным в наземных физических экспериментах. Топологические дефекты, возникшие при формировании Вселенной, теоретически можно было наблюдать без значительных затрат энергии.

В теории Большого взрыва Вселенная охлаждается из первоначального горячего и плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах конденсированного состояния, таких как сверхпроводники. Определенный Теории Великого объединения предсказывают образование стабильных топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.

Нарушение симметрии

Считается, что в зависимости от характера нарушения симметрии в ранней Вселенной образовались различные солитоны при космологических фазовых переходах по механизму Киббла-Зурека . Хорошо известными топологическими дефектами являются:

• Космические струны — это одномерные линии, образующиеся при нарушении осевой или цилиндрической симметрии.
• Доменные стенки — двумерные мембраны, образующиеся при нарушении дискретной симметрии при фазовом переходе. Эти стены напоминают стенки пенопласта с закрытыми порами , разделяющие вселенную на отдельные ячейки.
• Предполагается, что монополи , кубообразные дефекты, образующиеся при нарушении сферической симметрии, будут иметь магнитный заряд. либо на север, либо на юг (поэтому их обычно называют « магнитными монополями »).
• Текстуры образуются, когда более крупные и сложные группы симметрии полностью сломаны. Они не так локализованы, как другие дефекты, и нестабильны.
• Скирмионы
• Дополнительные измерения и высшие измерения .

Возможны и другие, более сложные гибриды этих типов дефектов.

По мере того как Вселенная расширялась и охлаждалась, симметрия законов физики начала нарушаться в областях, распространяющихся со скоростью света ; топологические дефекты возникают на границах соседних областей. Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе фазового перехода в неупорядоченную фазу , которая сохраняется после завершения для окружающих областей.

Наблюдение

Топологические дефекты астрономами не выявлены; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они привели бы к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.

Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено и требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны предполагалось, что крупномасштабная структура космоса обеспечивают начальную «затравочную» гравитацию, вокруг которой конденсируется материи. Текстуры такие же доброкачественные. В конце 2007 года холодное пятно в космическом микроволновом фоне предоставило доказательства возможной текстуры .

Классы устойчивых дефектов в двухосных нематиках

Конденсированное вещество

В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественную основу для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза с помощью топологических методов получили условие наличия линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Именно нетривиальное применение топологии впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в А -фазе сверхтекучего гелия -3.

Стабильные дефекты

Гомотопическая теория глубоко связана с устойчивостью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь может непрерывно деформироваться в одну точку, дефект нестабилен, в противном случае он стабилен.

В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированном веществе наблюдались экспериментально. Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. Нематические и двухосные нематические жидкие кристаллы имеют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. д. В кристаллических твердых телах наиболее распространенными топологическими дефектами являются дислокации , играющие важную роль в прогнозировании механических свойств кристаллов, особенно кристаллической пластичности .

Топологические дефекты в магнитных системах

В магнитных системах топологические дефекты включают 2D-дефекты, такие как скирмионы (с целым зарядом скирмиона), или 3D-дефекты, такие как Хопфионы (с целым индексом Хопфа). Определение можно расширить, включив в него дислокации гелимагнитного порядка, например краевые дислокации. и винтовые дислокации (которые имеют целочисленное значение вектора Бюргерса)

Изображения

Статическое решение ${\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -\left(\phi ^{2}-1\right)^{2}$ в (1 + 1)-мерном пространстве-времени.

Солитон и антисолитон сталкиваются со скоростями ±sinh(0,05) и аннигилируют.

См. также

• Конденсированное вещество
• Дифференциальное уравнение
• Дислокация
• Квантовая механика
• Квантовая топология
• Квантовый вихрь
• Топологическая энтропия в физике
• Топологическое многообразие
• Топологический порядок
• Топологическая квантовая теория поля
• Топологическое квантовое число
• Топологическая теория струн
• Топология
• Векторный солитон

Внешние ссылки

• Космические струны и другие топологические дефекты
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/