Гиперболическое многообразие

В математике гиперболическое многообразие — это пространство, каждая точка которого локально выглядит как гиперболическое пространство некоторой размерности. Они особенно изучаются в размерностях 2 и 3, где называются гиперболическими поверхностями и гиперболическими 3-многообразиями соответственно. В этих измерениях они важны, потому что большинство многообразий можно превратить в гиперболическое многообразие с помощью гомеоморфизма . Это следствие теоремы об униформизации поверхностей и теоремы геометризации для 3-многообразий, доказанных Перельманом .

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ . Это пример того, что наблюдатель может увидеть внутри гиперболического трехмерного многообразия.

Псевдосфера ​ . Каждая половина этой формы представляет собой гиперболическое 2-многообразие (т.е. поверхность) с краем.

Строгое определение

Гиперболический ​ $n$-многообразие является полным римановым $n$-многообразие постоянной поперечной кривизны $-1$.

Всякое полное связное односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны. $-1$ изометрично пространству реальному гиперболическому $\mathbb {H} ^{n}$. В результате универсальное накрытие любого замкнутого многообразия $M$ постоянной отрицательной кривизны $-1$ является $\mathbb {H} ^{n}$. Таким образом, каждый такой $M$ можно записать как $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ где $\Gamma$ представляет собой дискретную группу изометрий без кручения на $\mathbb {H} ^{n}$. То есть, $\Gamma$ является дискретной подгруппой $\mathrm {SO} _{1,n}^{+}\mathbb {R}$. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда $\Gamma$ представляет собой решётку .

Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и концов, являющихся произведением евклидова ( $n-1$)-многообразие и замкнутый полулуч. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.

Примеры

Простейшим примером гиперболического многообразия является гиперболическое пространство , поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет окрестность, изометричную гиперболическому пространству.

Однако простым нетривиальным примером является однажды проколотый тор. Это пример (Isom( $\mathbb {H} ^{2}$), $\mathbb {H} ^{2}$)-многообразие . Его можно построить, взяв идеальный прямоугольник в $\mathbb {H} ^{2}$ - то есть прямоугольник, вершины которого находятся на бесконечной границе и, следовательно, не существуют в результирующем многообразии - и идентификацию противоположных изображений.

Аналогичным образом мы можем построить сферу с тремя проколами, показанную ниже, склеив вместе два идеальных треугольника. Здесь также показано, как рисовать кривые на поверхности: черная линия на диаграмме становится замкнутой кривой, когда зеленые края склеиваются. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности, включая их границы, не являются частью поверхности и, следовательно, представлены на диаграмме как идеальные вершины .

(Слева) Схема склейки трижды проколотой сферы. Края, окрашенные в один и тот же цвет, склеиваются. Обратите внимание, что точки пересечения линий (включая точку на бесконечности) лежат на границе гиперболического пространства и поэтому не являются частью поверхности. (Справа) Поверхность склеена.

Многие узлы и связи , включая некоторые из более простых узлов, таких как узел восьмерка и кольца Борромео , являются гиперболическими , и поэтому дополнение узла или звена в $S^{3}$ является гиперболическим 3-многообразием конечного объема.

Важные результаты

Для $n>2$ гиперболическая структура на конечном объеме гиперболическом $n$-многообразие уникально в силу жесткости Мостова , поэтому геометрические инварианты на самом деле являются топологическими инвариантами. Одним из этих геометрических инвариантов, используемых в качестве топологического инварианта, является гиперболический объем узла или дополнения к звену, который может позволить нам отличать два узла друг от друга, изучая геометрию их соответствующих многообразий.

См. также

• Гиперболическое 3-многообразие
• Гиперболическое пространство
• Теорема гиперболизации
• Лемма Маргулиса
• Нормально гиперболическое инвариантное многообразие

Ссылки

• Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN  978-0-8176-4912-8 , МР   1792613
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Тексты для выпускников по математике , том. 219, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98386-8 , МР   1937957
• Рэтклифф, Джон Г. (2006) [1994], Основы гиперболических многообразий , Тексты для выпускников по математике, том. 149 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-47322-2 , ISBN  978-0-387-33197-3 , МР   2249478