( G , X )-многообразие

В геометрии , если X — многообразие с действием топологической группы G посредством аналитических диффеоморфизмов, понятие ( G , X )-структуры в топологическом пространстве — это способ формализовать ее, будучи локально изоморфной X с ее G - инвариантная структура; пространства с ( G , X )-структурой всегда являются многообразиями и называются ( G , X )-многообразиями . Это понятие часто используется, когда является группой Ли , а X — однородным пространством для G. G Основополагающими примерами являются гиперболические многообразия и аффинные многообразия .

Определение и примеры

Формальное определение

Позволять $X$ быть связным дифференциальным многообразием и $G$ — подгруппа диффеоморфизмов группы $X$ которые действуют аналитически в следующем смысле:

если $g_{1},g_{2}\in G$ и существует непустое открытое подмножество $U\subset X$ такой, что $g_{1},g_{2}$ равны, когда ограничены $U$ затем $g_{1}=g_{2}$

(это определение основано на свойстве аналитического продолжения аналитических диффеоморфизмов на аналитическом многообразии ).

А $(G,X)$-структура в топологическом пространстве $M$ представляет собой многообразную структуру на $M$ чьи атласа имеют значения в диаграммы $X$ и карты перехода принадлежат $G$. Это означает, что существует:

• покрытие $M$ по открытым наборам $U_{i},i\in I$ (т.е. $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$);
• открытые вложения $\varphi _{i}:U_{i}\to X$ называемые диаграммами;

так что каждая карта перехода $\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}:\varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})$ является ограничением диффеоморфизма в $G$.

Две такие структуры $(U_{i},\varphi _{i}),(V_{j},\psi _{j})$ эквивалентны, когда они содержатся в максимальном, эквивалентно, когда их объединение также является $(G,X)$ структура (т.е. карты $\varphi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}$ и $\psi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}$ являются ограничениями диффеоморфизмов в $G$).

Римановы примеры

Если $G$ является группой Ли и $X$ риманово многообразие с точным действием $G$ по изометриям , то действие аналитично. Обычно берут $G$ быть полной группой изометрии $X$. Тогда категория $(G,X)$ многообразий эквивалентна категории римановых многообразий, локально изометричных $X$ (т.е. каждая точка имеет окрестность, изометричную открытому подмножеству $X$).

Зачастую примеры $X$ однородны ​ по $G$, например, можно взять $X=G$ с левоинвариантной метрикой. Особенно простым примером является $X=\mathbb {R} ^{n}$ и $G$ группа евклидовых изометрий . Тогда $(G,X)$ многообразие — это просто плоское многообразие .

Особенно интересен пример, когда $X$ — риманово симметрическое пространство , например гиперболическое пространство . Простейшим таким примером является гиперболическая плоскость , группа изометрий которой изоморфна $G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Псевдоримановы примеры

Когда $X$ пространство Минковского и $G$ группа Лоренца, понятие $(G,X)$-структура такая же, как у плоского лоренцева многообразия .

Другие примеры

Когда $X$ является аффинным пространством и $G$ группы аффинных преобразований, то возникает понятие аффинного многообразия .

Когда $X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$ - n-мерное реальное проективное пространство и $G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )$ возникает понятие проективной структуры.

Разработка карты и комплектность

Разработка карты

Позволять $M$ быть $(G,X)$-многообразие связное (как топологическое пространство). Развивающая карта - это карта с универсальной обложки. ${\tilde {M}}$ к $X$ которая четко определена только с точностью до композиции элементом $G$.

Развивающаяся карта определяется следующим образом: исправить $p\in {\tilde {M}}$ и пусть $q\in {\tilde {M}}$ быть любой другой точкой, $\gamma$ путь из $p$ к $q$, и $\varphi :U\to X$ (где $U$ является достаточно маленькой окрестностью $p$) карта, полученная путем составления карты $M$ с проекцией ${\tilde {M}}\to M$. Мы можем использовать аналитическое продолжение вдоль $\gamma$ расширять $\varphi$ так что его домен включает $q$. С ${\tilde {M}}$ просто связано значение $\varphi (q)$ полученное таким образом значение не зависит от первоначального выбора $\gamma$, и мы называем (четко определенное) отображение $\varphi :{\tilde {M}}\to X$ карта развивающаяся для $(G,X)$-структура. Это зависит от выбора базовой точки и графика, но только до композиции элементом $G$.

Монодромия

Учитывая развивающуюся карту $\varphi$, монодромия или голономия из $(G,X)$-структура – ​​это уникальный морфизм $h:\pi _{1}(M)\to G$ который удовлетворяет

$\forall \gamma \in \pi _{1}(M),p\in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)$.

Это зависит от выбора развивающегося отображения, но только с точностью до внутреннего автоморфизма $G$.

Полные ( G , X )-структуры

А $(G,X)$ структура называется полной, если она имеет развивающееся отображение, которое одновременно является и покрывающим (это не зависит от выбора развивающегося отображения, поскольку они отличаются диффеоморфизмом). Например, если $X$ односвязно, структура полна тогда и только тогда, когда развивающееся отображение является диффеоморфизмом.

Примеры

Римановы ( G , X )-структуры

Если $X$ является римановым многообразием и $G$ его полную группу изометрии, то $(G,X)$-структура полна тогда и только тогда, когда лежащее в ее основе риманово многообразие геодезически полно (эквивалентно метрически полно). В частности, в этом случае, если базовое пространство $(G,X)$-многообразие компактно, то оно автоматически полно.

В случае, когда $X$ — гиперболическая плоскость, развивающееся отображение — это то же самое отображение, которое задано теоремой униформизации .

Другие случаи

В общем случае компактность пространства не означает полноты $(G,X)$-структура. Например, аффинная структура на торе является полной тогда и только тогда, когда отображение монодромии имеет свой образ внутри трансляций . Но есть много аффинных торов, которые не удовлетворяют этому условию, например, любой четырехугольник, противоположные стороны которого склеены аффинным отображением, дает аффинную структуру на торе, которая является полной тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.

Интересные примеры полных некомпактных аффинных многообразий дают пространства-времени Маргулиса.

( G , X )-структуры как связи

Основная статья: Связь Эресмана

В творчестве Чарльза Эресмана $(G,X)$-структуры на многообразии $M$ рассматриваются как плоские связности Эресмана на расслоениях со слоями $X$ над $M$, чьи отображения монодромии лежат в $G$.

Ссылки

• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Издательство Принстонского университета.