Теорема униформизации

В математике теорема униформизации утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность одной конформно эквивалентна из трех римановых поверхностей: открытому единичному диску , комплексной плоскости или сфере Римана . Теорема является обобщением теоремы Римана об отображении односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.

Поскольку каждая риманова поверхность имеет универсальное накрытие , которое представляет собой односвязную риманову поверхность, теорема униформизации приводит к классификации римановых поверхностей на три типа: те, которые имеют риманову сферу в качестве универсального покрытия («эллиптические»), те, у которых плоскость является универсальным покрытием. универсальная крышка («параболическая») и с универсальным кожухом в виде диска («гиперболическая»). Далее следует, что каждая риманова поверхность допускает риманову метрику постоянной кривизны , где кривизну можно принять равной 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

Теорема униформизации также дает аналогичную классификацию замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий на эллиптические/параболические/гиперболические случаи. Каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику с постоянной кривизной, где кривизну можно принять равной 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

История

Феликс Кляйн ( 1883 ) и Анри Пуанкаре ( 1882 ) выдвинули гипотезу о теореме униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре ( 1883 ) распространил это на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в его пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы об униформизации были даны Пуанкаре ( 1907 ) и Паулем Кебе ( 1907a , 1907b , 1907c ). Позже Пол Кебе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана у Грея (1994) ; Полный отчет об униформизации вплоть до статей Кебе и Пуанкаре 1907 года дан с подробными доказательствами в де Сен-Жерве (2016) ( псевдоним типа Бурбаки группы из пятнадцати математиков, которые совместно подготовили эту публикацию).

Классификация связанных римановых поверхностей

Каждая риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретной группы на ее универсальное накрытие, и это универсальное накрытие, будучи односвязной римановой поверхностью, голоморфно изоморфно (также говорят: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно») к одному из следующих:

сфера Римана
сложный самолет
единичный диск в комплексной плоскости.

Для компактных римановых поверхностей поверхности с универсальным покрытием единичного круга представляют собой в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; с универсальным накрытием комплексной плоскости являются римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы или эллиптические кривые с фундаментальной группой $Z 2$ ; а те, что имеют универсальное накрытие - сферу Римана, - это те, которые имеют род нуль, а именно сама сфера Римана, с тривиальной фундаментальной группой.

Классификация замкнутых ориентированных римановых 2-многообразий

На ориентированном 2-многообразии риманова метрика индуцирует сложную структуру, используя переход к изотермическим координатам . Если риманова метрика локально задана как

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},

то в комплексной координате z = x + i y он принимает вид

ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},

где

\lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),

так что λ и µ гладкие с λ > 0 и | | | < 1. В изотермических координатах ( u , v ) метрика должна иметь вид

ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})

с ρ > 0 гладкая. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет условию

\rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},

так что координаты ( u , v ) будут локально изотермическими при условии, что уравнение Бельтрами

{\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}

имеет локально диффеоморфное решение, т. е. решение с ненулевым якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешней производной и оператора звезды Ходжа $*$ . ^{[ 1 ]} $u$ и $v$ будут изотермическими координатами, если $* du = dv$ , где $*$ определено на дифференциалах по $формуле *(p dx + q dy) знак равно - q dx + p dy$ . Пусть $∆ = * d * d$ — оператор Лапласа–Бельтрами . Согласно стандартной эллиптической теории, $u$ можно выбрать гармоническим вблизи данной точки, т. е. $Δ u = 0$ , при этом $du$ не обращается в нуль. По лемме Пуанкаре $dv = * du$ имеет локальное решение $v$ точно тогда, когда $d (* du) = 0$ . Это условие эквивалентно $∆ u = 0$ , поэтому всегда может быть решено локально. Поскольку $du$ не равно нулю, а квадрат оператора звезды Ходжа равен -1 в 1-формах, $du$ и $dv$ должны быть линейно независимыми, так что $u$ и $v$ задают локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат можно доказать и другими методами, например, с использованием общей теории уравнения Бельтрами , как у Альфорса (2006) , или прямыми элементарными методами, как у Черна (1955) и Йоста (2006) .

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждое такое конформно эквивалентно уникальному замкнутому 2-многообразию постоянной кривизны , поэтому частное одного из следующих значений по свободному действию дискретной подгруппы группы изометрий :

сфера ( кривизна +1)
( евклидова плоскость кривизна 0)
гиперболическая плоскость (кривизна −1).

род 0
род 1
род 2
род 3

Первый случай дает 2-сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной эйлеровой характеристикой (равной 2). Второй дает все плоские 2-многообразия, т.е. торы , которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все 2-многообразия постоянной отрицательной кривизны, т.е. гиперболические 2-многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. Классификация согласуется с теоремой Гаусса-Бонне , которая подразумевает, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика равна 2 – 2 g , где g — род 2-многообразия, т. е. количество «дырок».

Методы доказательства

Многие классические доказательства теоремы об униформизации основаны на построении вещественной гармонической функции на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме функции Грина . Широко применяются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона ; Шварца попеременный метод ; принцип Дирихле ; и . метод ортогонального проектирования Вейля В контексте замкнутых римановых 2-многообразий некоторые современные доказательства используют нелинейные дифференциальные уравнения в пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами из теории Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений ; Уравнение Лиувилля , уже изученное Пуанкаре; и Риччи текут вместе с другими нелинейными потоками.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически счетна по секундам . Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы об униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторая счетность автоматическая для компактных римановых поверхностей.

Методы гильбертового пространства

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. Это была первая книга, в которой была представлена теория римановых поверхностей в современной обстановке, и на протяжении трех ее изданий она оставалась влиятельной. Посвященное Феликсу Кляйну , первое издание включало Гильбертом рассмотрение проблемы Дирихле с использованием гильбертова пространства методов ; Вклад Брауэра в топологию; и доказательство Кебе теоремы об униформизации и ее последующих усовершенствований. Намного позже Вейль (1940) разработал свой метод ортогонального проектирования, который дал упрощенный подход к задаче Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, включавшая лемму Вейля об эллиптической регулярности , была связана с Ходжа теорией гармонических интегралов ; и обе теории были включены в современную теорию эллиптических операторов и $L 2$ Пространства Соболева . В третьем издании своей книги 1955 года, переведенном на английский язык Вейлем (1964) , Вейль принял современное определение дифференциального многообразия, отдав предпочтение триангуляции , но решил не использовать свой метод ортогональной проекции. Спрингер (1957) следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогонального проектирования для решения проблемы Дирихле. Кодайра (2007) описывает подход в книге Вейля, а также то, как его сократить с помощью метода ортогональной проекции. Соответствующий отчет можно найти у Дональдсона (2011) .

Нелинейные потоки

Ричард С. Гамильтон показал, что нормализованный поток Риччи на замкнутой поверхности униформизирует метрику (т. е. поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему об униформизации. Недостающий шаг связан с потоком Риччи в 2-сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме униформизации (для рода 0), был предложен Ченом, Лу и Тианом (2006) ; ^{[ 2 ]} краткое автономное описание потока Риччи в 2-сфере было дано в работе Эндрюса и Брайана (2010) .

Обобщения

Кебе доказал общую теорему униформизации , согласно которой, если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В трёх измерениях существует восемь геометрий, называемых восемью геометриями Тёрстона . Не каждое трехмерное многообразие допускает геометрию, но гипотеза геометризации Терстона , доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что каждое трехмерное многообразие можно разрезать на геометризуемые части.

Теорема об одновременной униформизации Липмана Берса показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные римановы поверхности одного и того же рода >1 с одной и той же квазифуксовой группой .

Теорема об измеримом отображении Римана в более общем плане показывает, что отображение открытого подмножества комплексной сферы в теореме униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

См. также

p -адическая теорема униформизации

Примечания

^ ДеТурк и Каздан 1981 ; Тейлор 1996а , стр. 377–378
^ Брендл 2010

Ссылки

Исторические ссылки

Шварц, Х.А. (1870), «О пересечении границы с помощью чередующихся процедур» , Ежеквартальный журнал Общества естественных исследований в Цюрихе , 15 : 272–286, JFM 02.0214.02 .
Кляйн, Феликс (1883), «Новый вклад в теорию функций Римана» , Mathematical Annals , 21 (2): 141–218, doi : 10.1007/BF01442920 , ISSN 0025-5831 , JFM 15.0351.01 , S2CID 120465625
Кёбе, П. (1907a), «Об униформизации реальных аналитических кривых» , Göttinger Nachrichten : 177–190, JFM 38.0453.01
Кёбе, П. (1907b), «Об униформизации произвольных аналитических кривых» , Göttinger Nachrichten : 191–210, JFM 38.0454.01
Кёбе, П. (1907c), «Об униформизации произвольных аналитических кривых (второе сообщение)» , Göttinger Nachrichten : 633–669, JFM 38.0455.02
Кёбе, Пол (1910a), «Об униформизации произвольных аналитических кривых», Журнал чистой и прикладной математики , 138 : 192–253, doi : 10.1515/crll.1910.138.192 , S2CID 120198686
Кёбе, Пауль (1910b), «О методе униформизации Гильберта» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
Пуанкаре, Х. (1882), «Мемуары о фуксовых функциях», Acta Mathematica , 1 : 193–294, doi : 10.1007/BF02592135 , ISSN 0001-5962 , JFM 15.0342.01
Пуанкаре, Анри (1883), «Об одной теореме общей теории функций» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 11 : 112–125, doi : 10.24033/bsmf.261 , ISSN 0037-9484 , JFM 15.0348.01
Пуанкаре, Анри (1907), «Об униформизации аналитических функций» (PDF) , Acta Mathematica , 31 : 1–63, doi : 10.1007/BF02415442 , ISSN 0001-5962 , JFM 38.0452.02
Гильберт, Дэвид (1909), «К теории конформного отображения» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
Перрон, О. (1923), «Новая трактовка первой краевой задачи для Δu = 0», Mathematical Journal , 18 (1): 42–54, doi : 10.1007/BF01192395 , ISSN 0025-5874 , S2CID 122843531
Вейль, Герман (1913), Идея римановой поверхности (перепечатка немецкого оригинала 1913 года в 1997 году) , Тойбнер, ISBN 978-3-8154-2096-6
Вейль, Герман (1940), «Метод ортогональных проекций в теории потенциала», Duke Math. Дж. , 7 : 411–444, doi : 10.1215/s0012-7094-40-00725-6

Исторические обзоры

Абикофф, Уильям (1981), «Теорема униформизации», Amer. Математика. Ежемесячно , 88 (8): 574–592, номер номера : 10.2307/2320507 , JSTOR 2320507.
Грей, Джереми (1994), «К истории теоремы об отображении Римана» (PDF) , Отчеты Математического цирка Палермо. Серия II. Приложение (34): 47–94, МР 1295591.
Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония — геометрические фантазии: развитие теории комплексных функций , источники и исследования по истории математики и физических наук, Springer, ISBN 978-1461457251
де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: пересмотр теоремы столетней давности , перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, номер документа : 10.4171/145 , ISBN 978-3-03719-145-3 , перевод французского текста (подготовлен в 2007 г. к столетию статей Кебе и Пуанкаре 1907 г.)

Гармонические функции

Метод Перрона

Хейнс, М. (1949), «Конформное отображение односвязных римановых поверхностей», Ann. математики. , 50 (3): 686–690, номер документа : 10.2307/1969555 , JSTOR 1969555.
Хейнс, М. (1951), "Внутреннее отображение ориентируемой поверхности в S ²", Proc. Amer. Math. Soc. , 2 (6): 951–952, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
Хейнс, М. (1957), «Конформное отображение односвязных римановых поверхностей. II» (PDF) , Nagoya Math. Дж. , 12 : 139–143, doi : 10.1017/s002776300002198x
Пфлюгер, Альберт (1957), Теория римановых поверхностей , Спрингер
Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
Бердон, А.Ф. (1984), «Букварь по римановым поверхностям» , Серия лекций Лондонского математического общества , 78 , Cambridge University Press, ISBN 978-0521271042
Форстер, Отто (1991), Лекции по римановым поверхностям , Тексты для аспирантов по математике, том. 81, перевод Брюса Гиллигана, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
Гамелен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
Хаббард, Джон Х. (2006), Теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Том. 1. Теория Тейхмюллера , Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
Шлаг, Вильгельм (2014), Курс комплексного анализа и римановых поверхностей. , Аспирантура по математике, вып. 154, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-9847-5

Попеременный метод Шварца

Неванлинна, Рольф (1953), Униформизация , Основные положения математических наук в отдельных изложениях с особым рассмотрением областей применения, том. 64, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-52801-9 , ISBN. 978-3-642-52802-6
Бенке, Генрих; Зоммер, Фридрих (1965), Теория аналитических функций комплексной переменной , Основные положения математических наук, том. 77 (3-е изд.), Спрингер
Фрайтаг, Эберхард (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции , Спрингер, ISBN 978-3-642-20553-8

Принцип Дирихле

Вейль, Герман (1964), Концепция римановой поверхности , перевод Джеральда Р. Маклейна, Аддисон-Уэсли, MR 0069903
Курант, Ришар (1977), принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
Сигел, CL (1988), Темы теории комплексных функций. Том. I. Эллиптические функции и теория униформизации в переводе А. Шенитцера; Д. Солитар, Уайли, ISBN 978-0471608448

Метод ортогональной проекции Вейля

Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности , Аддисон-Уэсли, MR 0092855
Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 107, Издательство Кембриджского университета, ISBN 9780521809375
Дональдсон, Саймон (2011), Римановы поверхности , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, том. 22, Издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-960674-0

Операторы Сарио

Сарио, Лео (1952), «Метод линейного оператора на произвольных римановых поверхностях», Trans. амер. Математика. Соц. , 72 (2): 281–295, doi : 10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
Альфорс, Ларс В.; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, vol. 26, Издательство Принстонского университета

Нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение Бельтрами

Альфорс, Ларс В. (2006), Лекции по квазиконформным отображениям , Серия университетских лекций, том. 38 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-3644-6
Альфорс, Ларс В.; Берс, Липман (1960), «Теорема Римана об отображении для переменных метрик», Ann. математики. , 72 (2): 385–404, номер документа : 10.2307/1970141 , JSTOR 1970141.
Берс, Липман (1960), «Одновременная униформизация» (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. , 66 (2): 94–97, doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
Берс, Липман (1961), «Униформизация с помощью уравнений Бельтрами», Comm. Чистое приложение. Математика. , 14 (3): 215–228, doi : 10.1002/cpa.3160140304
Берс, Липман (1972), «Униформизация, модули и клейнивы группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 4 (3): 257–300, doi : 10.1112/blms/4.3.257 , ISSN 0024-6093 , MR 0348097

Гармонические карты

Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Уравнение Лиувилля

Бергер, Мелвин С. (1971), «Римановы структуры заданной гауссовой кривизны для компактных 2-многообразий», Journal of Differential Geometry , 5 (3–4): 325–332, doi : 10.4310/jdg/1214429996
Бергер, Мелвин С. (1977), Нелинейность и функциональный анализ , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных III. Нелинейные уравнения , Прикладные математические науки, вып. 117 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-1-4419-7048-0

Потоки на римановых метриках

Гамильтон, Ричард С. (1988), «Поток Риччи на поверхностях», Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) , Contemp. Матем., вып. 71, Американское математическое общество, стр. 237–262.
Чоу, Беннетт (1991), «Поток Риччи в двумерной сфере», J. Differential Geom. , 33 (2): 325–334, doi : 10.4310/jdg/1214446319
Осгуд, Б.; Филлипс, Р.; Сарнак, П. (1988), «Экстремали определителей лапласианов», J. Funct. Анальный. , 80 148–211 CiteSeerX , : :10.1.1.486.558
Крусель, П. (1991), «Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (двумерного Калаби)», Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289–313, Bibcode : 1991CMaPh.137 ..289C , CiteSeerX 10.1.1.459.9029 , doi : 10.1007/bf02431882 , S2CID 53641998
Чанг, Шу-Ченг (2000), «Глобальное существование и сходимость решений потока Калаби на поверхностях рода h ≥ 2», J. Math. Киотский университет. , 40 (2): 363–377, doi : 10.1215/kjm/1250517718
Брендл, Саймон (2010), Поток Риччи и теорема о сфере , Аспирантура по математике, том. 111, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-4938-5
Чен, Сюсюн; Лу, Пэн; Тиан, Ганг (2006), «Заметки об униформизации римановых поверхностей потоком Риччи», Proceedings of the American Mathematical Society , 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2 , ISSN 0002-9939 , МР 2231924
Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2010), «Границы кривизны путем изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двух сферах», Calc. Вар. Уравнения в частных производных , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007/s00526-010-0315-5 , S2CID 1095459
Маццео, Рэйф; Тейлор, Майкл (2002), «Кривизна и униформизация», Израильский математический журнал , 130 : 323–346, arXiv : math/0105016 , doi : 10.1007/bf02764082 , S2CID 7192529
Струве, Майкл (2002), «Потоки кривизны на поверхностях» , Ann. наук. Норм. Супер. Пиза Кл. наук. , 1 : 247–274

Общие ссылки

Черн, Шиинг-шэнь (1955), "Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности", Тез. амер. Математика. Соц. , 6 (5): 771–782, номер документа : 10.2307/2032933 , JSTOR 2032933.
ДеТурк, Деннис М.; Каздан, Джерри Л. (1981), «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 14 (3): 249–260, doi : 10.24033/asens.1405 , 2010 - SN -СН 9593 , МР 0644518 .
Гусевский, Н.А. (2001) [1994], «Униформизация» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Крушкал, СЛ; Апанасов Б.Н.; Гусевский Н.А. (1986) [1981], Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах , Переводы математических монографий, вып. 62, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4516-5 , МР 0647770
Тейлор, Майкл Э. (1996a), Уравнения в частных производных I: Основная теория , Springer, стр. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
Тейлор, Майкл Э. (1996b), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных (перепечатка оригинала 1964 года) , Лекции по прикладной математике, том. 3А, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0049-2
Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-1-4757-1799-0 , ISBN. 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

Конформное преобразование: от круга к квадрату .

[1] ДеТурк и Каздан 1981 ; Тейлор 1996а , стр. 377–378

[2] Брендл 2010

[ 1 ]

[ 2 ]