Метод Перрона

В математическом исследовании гармонических функций метод Перрона , также известный как метод субгармонических функций , представляет собой метод, предложенный Оскаром Перроном для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа . Метод Перрона работает путем поиска наибольшей субгармонической функции с граничными значениями ниже желаемых значений; «Решение Перрона» совпадает с реальным решением задачи Дирихле, если задача разрешима.

Задача Дирихле состоит в том, чтобы найти гармоническую функцию в области с граничными условиями, заданными непрерывной функцией. $\varphi (x)$. Решение Перрона определяется путем взятия поточечного супремума по семейству функций $S_{\varphi }$,

$u(x)=\sup _{v\in S_{\varphi }}v(x)$

где $S_{\varphi }$ - множество всех субгармонических функций таких, что $v(x)\leq \varphi (x)$ на границе домена.

Перроновское решение u(x) всегда гармоническое; однако значения, которые он принимает на границе, могут не совпадать с желаемыми граничными значениями. $\varphi (x)$. Точка y границы удовлетворяет барьерному условию, если существует супергармоническая функция $w_{y}(x)$, определенное во всей области, такое, что $w_{y}(y)=0$ и $w_{y}(x)>0$ для всех $x\neq y$. Точки, удовлетворяющие барьерному условию, называются регулярными точками границы лапласиана. Это именно те точки, в которых гарантированно можно получить искомые граничные значения: $x\rightarrow y,u(x)\rightarrow \varphi (y)$.

Характеристика регулярных точек на поверхностях является частью теории потенциала . Регулярные точки на границе области $\Omega$ — это те точки, которые удовлетворяют критерию Винера: для любого $\lambda \in (0,1)$, позволять $C_{j}$ быть емкостью набора $B_{\lambda ^{j}}(x_{0})\cap \Omega ^{c}$; затем $x_{0}$ является регулярной точкой тогда и только тогда, когда

$\sum _{j=0}^{\infty }C_{j}/\lambda ^{j(n-2)}$

расходится.

Критерий Винера был впервые разработан Норбертом Винером ; он был расширен Вернером Пюшелем до равномерно эллиптических уравнений дивергентной формы с гладкими коэффициентами, а затем до равномерно эллиптических уравнений дивергентной формы с ограниченными измеримыми коэффициентами Уолтером Литтманом, Гвидо Стампаккья и Хансом Вайнбергером .

Ссылки

• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-41160-4
• Литтман, В.; Стампаккья, Г. ; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze , 3, vol. 17, нет. 1–2, Пиза, Италия: Scuola Normale Superiore di Pisa, стр. 43–77 МР 161019

Дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Б. (13 июня 1996 г.), Функции одной комплексной переменной II , Тексты для аспирантов по математике , том. 159, Springer-Verlag , стр. 376–383, ISBN.  978-0-387-94460-9
• Келлог, О.Д. (1953), Основы теории потенциала , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-60144-1
• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0350027.
• Перрон, О. (декабрь 1923 г.), «Новая трактовка первой краевой задачи для Δu = 0», Mathematical Journal , 18 (1): 42–54, doi : 10.1007/BF01192395 , ISSN   0025-5874 , S2CID   122843531
• Пюшель, Вернер (1932), «Первая краевая задача общего самосопряженного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка в пространстве для произвольных областей», Mathematical Journal , 34 (1): 535–553, doi : 10.1007/BF01180608 , ISSN   0025-5874 , MR   1545272 , S2CID   121882212
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Метод Перрона» , Энциклопедия Математики , EMS Press