Аффинное многообразие

В дифференциальной геометрии аффинное многообразие — это дифференцируемое многообразие снабженное плоской , без кручения связностью .

Эквивалентно, это многообразие, которое (если оно связно) покрыто открытым подмножеством ${\mathbb {R} }^{n}$ , с монодромией, действующей за счет аффинных преобразований . Эта эквивалентность является простым следствием теоремы Картана–Амброуза–Хикса .

Эквивалентно, это многообразие, снабженное атласом, называемым аффинной структурой , таким образом, что все функции перехода между картами являются аффинными преобразованиями (то есть имеют постоянную матрицу Якобиана); ^[1] два атласа эквивалентны, если многообразие допускает атлас, подчиненный обоим, причем переходы от обоих атласов к меньшему атласу являются аффинными. Многообразие, имеющее выделенную аффинную структуру, называется аффинным многообразием , а карты, аффинно связанные с картами аффинной структуры, называются аффинными картами . В каждой области аффинных координат поля координатных векторов образуют распараллеливание этой области, поэтому в каждой области существует связанное соединение. Эти локально определенные соединения одинаковы в перекрывающихся частях, поэтому существует уникальное соединение, связанное с аффинной структурой. Обратите внимание, что существует связь между линейным соединением (также называемым аффинным соединением ) и веб- соединением .

Формальное определение

Аффинное многообразие $M\,$ это настоящее многообразие с диаграммами $\psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}$ такой, что $\psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ для всех $i,j\,,$ где $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ обозначает группу Ли аффинных преобразований. Проще говоря, это (G,X)-многообразие , где $X=\mathbb {R} ^{n}$ и $G$ – группа аффинных преобразований.

Аффинное многообразие называется полным если его накрытие гомеоморфно , универсальное ${\mathbb {R} }^{n}$ .

В случае компактного аффинного многообразия $M$ , позволять $G$ быть основной группой $M$ и ${\widetilde {M}}$ быть его универсальным прикрытием . Можно показать, что каждый $n$ -мерное аффинное многообразие поставляется с развивающейся картой $D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}$ и гомоморфизм $\varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ , такой, что $D$ является погружением и эквивариантным относительно $\varphi$ .

компактного Фундаментальная группа полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой . Классификация аффинных кристаллографических групп — сложная и далекая от решения проблема. Римановы кристаллографические группы (также известные как группы Бибербаха ) были классифицированы Людвигом Бибербахом , отвечая на вопрос, заданный Дэвидом Гильбертом . В своей работе над 18-й проблемой Гильберта , Бибербах доказал что любая риманова кристаллографическая группа содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Важные давние предположения

Геометрия аффинных многообразий, по сути, представляет собой сеть давних гипотез; большинство из них доказаны в малой размерности и некоторых других частных случаях.

Наиболее важными из них являются:

Гипотеза Маркуса (1962), утверждающая, что компактное аффинное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно имеет параллельный объем. Известен в измерении 2.
Гипотеза Ауслендера (1964) ^[2]^[3] утверждая, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса . Известны размеры до 6, ^[4] и когда голономия плоской связности сохраняет метрику Лоренца . ^[5] Поскольку каждая практически полициклическая кристаллографическая группа сохраняет объемную форму, гипотеза Ауслендера подразумевает часть гипотезы Маркуса «только если». ^[6]
Гипотеза Черна (1955 г.) Класс Эйлера аффинного многообразия исчезает. ^[7]

Примечания

^ Бишоп и Голдберг 1968 , стр. 223–224.
^ Ауслендер, Луи (1964). «Структура локально полных аффинных многообразий» . Топология . 3 (Приложение 1): 131–139. дои : 10.1016/0040-9383(64)90012-6 .
^ Фрид, Дэвис; Гольдман, Уильям М. (1983). «Трехмерные аффинные кристаллографические группы» . Достижения в математике . 47 (1): 1–49. дои : 10.1016/0001-8708(83)90053-1 .
^ Абельс, Герберт; Маргулис, Григорий А.; Сойфер, Григорий А. (2002). «О замыкании Зарисского линейной части собственно разрывной группы аффинных преобразований» . Журнал дифференциальной геометрии . 60 : 315–344. дои : 10.4310/jdg/1090351104 .
^ Голдман, Уильям М.; Камисима, Ёсинобу (1984). «Фундаментальная группа компактной плоской пространственной формы Лоренца практически полициклична» . Журнал дифференциальной геометрии . 19 (1): 233–240. дои : 10.4310/jdg/1214438430 .
^ Абельс, Герберт (2001). «Правильно разрывные группы аффинных преобразований: обзор» . Геометрии посвященные . 87 : 309–333. дои : 10.1023/А:1012019004745 .
^ Костант, Бертрам ; Салливан, Деннис (1975). «Эйлерова характеристика аффинной пространственной формы равна нулю» . Бюллетень Американского математического общества . 81 (5): 937–938. дои : 10.1090/S0002-9904-1975-13896-1 .

Ссылки

Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-44177-3
Шарп, Ричард В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .
Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968). Тензорный анализ многообразий (первое изд., Дувр, 1980 г.). Компания Макмиллан. ISBN 0-486-64039-6 .

[FOOTNOTEBishopGoldberg1968223–224-1] Бишоп и Голдберг 1968 , стр. 223–224.

[2] Ауслендер, Луи (1964). «Структура локально полных аффинных многообразий» . Топология . 3 (Приложение 1): 131–139. дои : 10.1016/0040-9383(64)90012-6 .

[3] Фрид, Дэвис; Гольдман, Уильям М. (1983). «Трехмерные аффинные кристаллографические группы» . Достижения в математике . 47 (1): 1–49. дои : 10.1016/0001-8708(83)90053-1 .

[4] Абельс, Герберт; Маргулис, Григорий А.; Сойфер, Григорий А. (2002). «О замыкании Зарисского линейной части собственно разрывной группы аффинных преобразований» . Журнал дифференциальной геометрии . 60 : 315–344. дои : 10.4310/jdg/1090351104 .

[5] Голдман, Уильям М.; Камисима, Ёсинобу (1984). «Фундаментальная группа компактной плоской пространственной формы Лоренца практически полициклична» . Журнал дифференциальной геометрии . 19 (1): 233–240. дои : 10.4310/jdg/1214438430 .

[6] Абельс, Герберт (2001). «Правильно разрывные группы аффинных преобразований: обзор» . Геометрии посвященные . 87 : 309–333. дои : 10.1023/А:1012019004745 .

[7] Костант, Бертрам ; Салливан, Деннис (1975). «Эйлерова характеристика аффинной пространственной формы равна нулю» . Бюллетень Американского математического общества . 81 (5): 937–938. дои : 10.1090/S0002-9904-1975-13896-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]