Jump to content

Покрытие пространства

(Перенаправлено с универсального покрытия )
Интуитивно понятно, что покрытие локально проецирует «стопку блинов» над открытым районом. на

В топологии покрытие локально или покрывающая проекция — это карта между топологическими пространствами , которая интуитивно действует как проекция множества копий пространства на себя. В частности, накрытия представляют собой специальные виды локальных гомеоморфизмов . Если представляет собой покрытие, называется пространством или покрытием покрывающим , и Говорят, что это основа покрытия или просто основа . Злоупотребляя терминологией , и можно назвать покрывающими пространствами иногда также . Поскольку накрытия являются локальными гомеоморфизмами, накрывающее пространство представляет собой особый вид этального пространства .

Накрывающие пространства впервые возникли в контексте комплексного анализа (в частности, техники аналитического продолжения ), где они были введены Риманом как области, на которых естественно многозначные комплексные функции становятся однозначными. Эти пространства теперь называются римановыми поверхностями . [1] : 10 

Покрывающие пространства являются важным инструментом в нескольких областях математики. В современной геометрии накрывающие пространства (или разветвленные накрытия , имеющие несколько более слабые условия) используются при построении многообразий , орбифолдов и морфизмов между ними. В алгебраической топологии накрывающие пространства тесно связаны с фундаментальной группой : во-первых, поскольку все покрытия обладают свойством гомотопического подъема , накрывающие пространства являются важным инструментом при вычислении гомотопических групп . Стандартный пример в этом духе — вычисление фундаментальной группы окружности посредством покрытия к (см. ниже ). [2] : 29  При определенных условиях накрывающие пространства также обнаруживают соответствие Галуа с подгруппами фундаментальной группы.

Определение [ править ]

Позволять быть топологическим пространством. Покрытие представляет собой непрерывную карту

такой, что для каждого существует открытое соседство из и дискретное пространство такой, что и является гомеоморфизмом для любого .Открытые наборы называются листами , которые определяются однозначно с точностью до гомеоморфизма, если подключен . [2] : 56  Для каждого дискретный набор называется волокном . Если связно, можно показать, что сюръективен , мощность а одинаково для всех ; эта величина называется степенью покрытия. Если линейно связна , то накрытие называется линейно-связным покрытием . Это определение эквивалентно утверждению, что является локально тривиальным расслоением Fiber .

Некоторые авторы также требуют, чтобы быть сюръективным в том случае, если не подключен. [3]

Примеры [ править ]

  • Для любого топологического пространства , карта личности является покрытием. Аналогично для любого дискретного пространства проекция принимая является покрытием. Покрытия этого типа называются тривиальными покрытиями ; если имеет конечное число (скажем ) элементов, покрытие называется тривиальным листовое покрытие - .
Пространство представляет собой покровное пространство . Непересекающиеся открытые множества гомеоморфно отображаются на . Волокно состоит из точек .
  • Карта с является покрытием единичной окружности . Основа покрытия и площадь покрытия . Для любой точки такой, что , набор это открытый район . Прообраз под является
и листы покрытия для Волокно является
  • Еще одним покрытием единичного круга является карта с для некоторых Для открытого соседства из , у одного есть:
.
  • Отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом , но не покрывающее единичную окружность, называется с . Имеется лист открытой окрестности , который не отображается гомеоморфно на .

Свойства [ править ]

Локальный гомеоморфизм

Поскольку покрытие отображает каждое из непересекающихся открытых множеств гомеоморфно на это локальный гомеоморфизм, т.е. является непрерывным отображением и для каждого существует открытое соседство из , такой, что является гомеоморфизмом.

Отсюда следует, что накрывающее пространство и базовое пространство локально имеют одни и те же свойства.

  • Если — связное и неориентируемое многообразие , то существует накрытие степени , в результате чего является связным и ориентируемым многообразием. [2] : 234 
  • Если — связная группа Ли , то существует накрытие который также является гомоморфизмом группы Ли и является группой Ли. [4] : 174 
  • Если является графом , то для покрытия следует что это тоже график. [2] : 85 
  • Если — связное многообразие , то существует накрытие , в результате чего является связным и односвязным многообразием. [5] : 32 
  • Если — связная риманова поверхность , то существует накрытие которое также является голоморфным отображением [5] : 22  и — связная и односвязная риманова поверхность. [5] : 32 

Факторизация [ править ]

Позволять и быть линейно-связными, локально линейно-связными пространствами и и — непрерывные отображения, такие, что диаграмма

ездит на работу.

  • Если и являются покрытиями, так что .
  • Если и являются покрытиями, так что . [6] : 485 

Продукт покрытий [ править ]

Позволять и быть топологическими пространствами и и быть покрытиями, тогда с является покрытием. [6] : 339  Однако покрытия не все в этой форме вообще.

Эквивалентность покрытий [ править ]

Позволять быть топологическим пространством и и быть покрытиями. Оба накрытия называются эквивалентными , если существует гомеоморфизм , такой, что диаграмма

ездит на работу. Если такой гомеоморфизм существует, то накрывающие пространства называются и изоморфный .

Подъемное имущество [ править ]

Все покрытия обладают подъемным свойством , т.е.:

Позволять быть единичным интервалом и быть покрытием. Позволять быть непрерывным отображением и быть лифтом , т. е. непрерывное отображение такое, что . Тогда существует однозначно определенное непрерывное отображение для чего и что такое лифт , то есть . [2] : 60 

Если является линейно-связным пространством, то для следует, что карта это подъем пути в и для это подъем гомотопии путей в .

Как следствие, можно показать, что фундаментальная группа единичной окружности — бесконечная циклическая группа , порожденная гомотопическими классами петли с . [2] : 29 

Позволять быть пространством, связанным между собой и быть связным покрытием. Позволять любые две точки, соединенные путем , то есть и . Позволять быть уникальным лифтом , то карта

с

является биективным . [2] : 69 

Если представляет собой пространство, связанное путями, и связное накрытие, то индуцированный групповой гомоморфизм

с ,

инъективна и подгруппа из состоит из гомотопических классов петель в , лифты которого являются петлями в . [2] : 61 

Разветвленное покрытие [ править ]

Определения [ править ]

поверхностей Голоморфные отображения римановых

Позволять и римановы поверхности , т.е. одномерные комплексные многообразия , и пусть быть непрерывным отображением. голоморфен в точке , если для любых графиков из и из , с , карта является голоморфным .

Если вообще голоморфен , мы говорим голоморфен .

Карта называется локальным выражением в .

Если — непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями , то является сюръективной и открытой картой , [5] : 11  т.е. для каждого открытого набора изображение также открыт.

Точка ветвления и точка ветвления [ править ]

Позволять — непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Для каждого существуют диаграммы для и и существует однозначно определенное , такой, что локальное выражение из в имеет форму . [5] : 10  Число называется ветвления индексом в и точка называется точкой ветвления, если . Если для , затем является неразветвленным . Точка изображения точки ветвления называется точкой ветвления.

Степень голоморфного отображения [ править ]

Позволять — непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Степень из — мощность слоя неразветвленной точки , то есть .

Это число вполне определено, так как для каждого волокно дискретен [5] : 20  и для любых двух неразветвленных точек , это:

Его можно рассчитать по:

[5] : 29 

Разветвленное покрытие [ править ]

Определение [ править ]

Непрерывная карта называется разветвленным покрытием , если существует замкнутое множество с плотным дополнением , такой, что является покрытием.

Примеры [ править ]

  • Позволять и , затем с является разветвленным накрытием степени , где по является точкой ветвления.
  • Каждое непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. степени является разветвленным накрытием степени .

Универсальное покрытие [ править ]

Определение [ править ]

Позволять быть односвязным накрытием. Если — другое односвязное накрытие, то существует однозначно определенный гомеоморфизм , такой, что диаграмма

ездит на работу. [6] : 482 

Это означает, что с точностью до эквивалентности определена однозначно и в силу этого универсального свойства называется универсальным накрытием пространства .

Существование [ править ]

Универсальное покрытие не всегда существует, но его существование гарантируют следующие свойства:

Позволять быть связным, локально односвязным топологическим пространством; тогда существует универсальное накрытие .

определяется как и к . [2] : 64 

Топология на строится следующим образом: Пусть быть путем с . Позволять быть односвязной окрестностью конечной точки , то для каждого пути внутри от к однозначно определены с точностью до гомотопии . Теперь рассмотрим , затем с является биекцией и может быть оснащен окончательной топологией .

Основная группа действует свободно через на и с является гомеоморфизмом, т.е. .

Примеры [ править ]

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.
  • с — универсальное покрытие единичной окружности .
  • с является универсальным покрытием проективного пространства для .
  • с является универсальным накрытием унитарной группы . [7] : 5, Теорема 1
  • С , то фактор-отображение является универсальным покрытием .
  • Топологическое пространство, не имеющее универсального покрытия, — это гавайская серьга : Можно показать, что никакая окрестность начала координат просто связано. [6] : 487, Пример 1

G-покрытия [ править ]

Пусть G дискретная группа, в топологическом пространстве X. действующая Это означает, что каждый элемент g группы G связан с гомеоморфизмом H g группы X на самого себя таким образом, что H g h всегда равен H g ∘ H h для любых двух элементов g и h группы G . (Иными словами, групповое действие группы G на пространстве X — это не что иное, как групповой гомоморфизм группы G в группу Homeo( X ) самогомеоморфизмов X ). Естественно задаться вопросом, при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда так, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует по принципу ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.

Однако группа G действительно действует на фундаментальный группоид X орбитальные , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоиды, и соответствующие группоиды . Теория этого изложена в главе 11 книги «Топология и группоиды», упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X , допускающем универсальное накрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен орбитальному группоиду фундаментального группоида X , т. е. фактор этого группоида действием группы G . Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметрического квадрата пространства.

Трансформация колоды [ править ]

Определение [ править ]

Позволять быть покрытием. — Преобразование колоды это гомеоморфизм. , такой, что диаграмма непрерывных отображений

ездит на работу. Вместе с составом карт набор трансформации колоды образует группу , что то же самое, что .

Теперь предположим является покрывающей картой и (и, следовательно, также ) подключен и подключен локально. Действие на каждом слое транзитивно . Если это действие свободно на каком-то слое, то оно свободно на всех слоях, и накрытие мы называем регулярным (или нормальным , или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является принципалом -расслоение , где рассматривается как дискретная топологическая группа.

Каждый универсальный чехол является регулярным, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе .

Примеры [ править ]

  • Позволять быть прикрытием для некоторых , то карта это трансформация колоды и .
  • Позволять быть прикрытием , то карта с это трансформация колоды и .
  • В качестве еще одного важного примера рассмотрим сложная плоскость и комплексная плоскость минус начало координат. Тогда карта с это обычный чехол. Преобразования колоды представляют собой умножения с Таким образом, корни -й степени из единицы и группа преобразований колоды изоморфны циклической группе. . Аналогично, карта с это универсальный чехол.

Свойства [ править ]

Позволять быть пространством, связанным между собой и быть связным покрытием. С момента трансформации колоды является биективным , он переставляет элементы слоя с и однозначно определяется тем, куда он отправляет одну точку. В частности, только тождественная карта фиксирует точку в волокне. [2] : 70  Благодаря этому свойству каждое преобразование колоды определяет групповое действие над , то есть пусть быть открытым районом и открытый район , затем это групповое действие .

Обычные покрытия [ править ]

Определение [ править ]

Покрытие называется нормальным, если . Это означает, что для каждого и любые два существует трансформация колоды , такой, что .

Свойства [ править ]

Позволять быть пространством, связанным между собой и быть связным покрытием. Позволять быть подгруппой , затем это нормальное покрытие тогда и только тогда является нормальной подгруппой .

Если является обычным покрытием и , затем .

Если является линейно-связным покрытием и , затем , в результате чего является нормализатором . [2] : 71 

Позволять быть топологическим пространством. Группа действует прерывисто на , если каждый имеет открытое окружение с , такой, что для каждого с у одного есть .

Если группа действует разрывно в топологическом пространстве , то фактор-отображение с это обычное покрытие. [2] : 72  Настоящим является факторпространством и орбита действия группы.

Примеры [ править ]

  • Покрытие с это нормальное покрытие для каждого .
  • Всякое односвязное накрытие является нормальным накрытием.

Расчет [ править ]

Позволять — группа, действующая разрывно в топологическом пространстве. и пусть быть обычным покрытием.

  • Если связен по путям, то . [2] : 72 
  • Если просто связен, то . [2] : 71 

Примеры [ править ]

  • Позволять . Антиподальная карта с генерирует вместе с составом карт группу и вызывает групповое действие , который действует разрывно на . Из-за отсюда следует, что факторотображение является нормальным покрытием и для универсальное покрытие, следовательно для .
  • Позволять специальная ортогональная группа , то отображение является нормальным покрытием и из-за , это универсальное накрытие, следовательно .
  • С групповым действием из на , в результате чего это полупрямой продукт , получим универсальное накрытие из бутылки Клейна , следовательно .
  • Позволять быть тором , вложенным в . Тогда получается гомеоморфизм , что индуцирует разрывное групповое действие , в результате чего . Отсюда следует, что карта является нормальным покрытием бутылки Клейна, следовательно .
  • Позволять быть встроен в . Поскольку групповое действие носит прерывистый характер, при этом взаимнопросты карта , — универсальное покрытие хрусталикового пространства , следовательно .

Переписка Галуа [ править ]

Позволять — связное и локально односвязное пространство, то для каждой подгруппы существует линейно-связное накрытие с . [2] : 66 

Позволять и — два линейно-связных покрытия, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда подгруппы и сопряжены друг с другом. [6] : 482 

Позволять — связное и локально односвязное пространство, то с точностью до эквивалентности покрытий существует биекция:

Для последовательности подгрупп получается последовательность накрытий . Для подгруппы с индексом , покрытие имеет степень .

Классификация [ править ]

Определения [ править ]

Категория покрытий [ править ]

Позволять быть топологическим пространством. Объекты категории это покрытия из и морфизмы между двумя накрытиями и представляют собой непрерывные карты , такой, что диаграмма

ездит на работу.

G-Set [ править ]

Позволять быть топологической группой . Категория — категория множеств, являющихся G-множествами . Морфизмы являются G-отображениями. между G-сетами. Они удовлетворяют условию для каждого .

Эквивалентность [ править ]

Позволять быть связным и локально односвязным пространством, и быть основной группой . С определяет, поднимая пути и оценивая в конечной точке подъема групповое действие на слое покрытия, функтор есть эквивалентность категорий . [2] : 68–70 

Приложения [ править ]

Блокировка подвеса происходит потому, что любая карта T 3 РП 3 не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта содержит любой элемент T 3 , то есть упорядоченная тройка (a,b,c) углов (действительные числа по модулю 2 π ), к композиции трех вращений координатных осей R x (a)∘R y (b)∘R z (c) этими углами соответственно. Каждое из этих вращений и их состав являются элементом группы вращений SO(3), которая топологически является RP. 3 . На этой анимации показан набор из трех подвесов, смонтированных вместе, что обеспечивает три степени свободы. Когда все три подвеса выровнены (в одной плоскости), в этой конфигурации система может двигаться только в двух измерениях, а не в трех, и находится в режиме блокировки подвеса . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не катиться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в диаграммах на SO(3) , группе вращения . Эта группа широко распространена в технике, поскольку трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO(3) — это реальное проективное пространство RP. 3 , с фундаментальной группой Z /2 и единственным (нетривиальным) накрывающим пространством гиперсферы S 3 , которая является группой Spin(3) и представлена ​​единичными кватернионами . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом представления пространственного вращения – см. кватернионы и пространственное вращение .

Однако часто желательно представлять вращение набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), как потому, что это концептуально проще для тех, кто знаком с плоским вращением, так и потому, что можно построить комбинацию из трех подвесов для производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T 3 трех углов к реальному проективному пространству RP 3 вращений, и полученная карта имеет недостатки из-за того, что эта карта не может быть покрывающей картой. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой карданного подвеса и демонстрируется в анимации справа — в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что из этой точки можно реализовать только два измерения вращения путем изменения углов. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрывающего пространства.

См. также [ править ]

Литература [ править ]

  • Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79160-Х . OCLC   45420394 .
  • Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Нью-Йорк. ISBN  0-387-90617-7 . OCLC   7596520 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  • Манкрес, Джеймс Р. (2018). Топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-13-468951-7 . ОСЛК   964502066 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  • Кюнель, Вольфганг (2011). Матрицы и группы Ли. Геометрическое введение (на немецком языке). Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag. дои : 10.1007/978-3-8348-9905-7 . ISBN  978-3-8348-9905-7 . OCLC   706962685 .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Форстер, Отто (1981). «Глава 1: Покрытие пространств». Лекции по римановым поверхностям . ГТМ. Перевод Брюса Джиллиана. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9781461259633 .
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м н тот п Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN  0-521-79160-Х .
  3. ^ Роуленд, Тодд. «Карта покрытия». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком В. Вайсштейном. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
  4. ^ Кюнель, Вольфганг (6 декабря 2010 г.). Матрицы и группы Ли . Штутгарт: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN  978-3-8348-9905-7 .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Форстер, Отто (1991). Лекции по римановым поверхностям . Мюнхен: Springer Berlin. ISBN  978-3-540-90617-9 .
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Манкрес, Джеймс (2000). Топология . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: ISBN Prentice Hall, Inc.  978-0-13-468951-7 .
  7. ^ Агилар, Марсело Альберто; Соколовский, Мигель (23 ноября 1999 г.). «Универсальная накрывающая группа U (n) и проективные представления». Международный журнал теоретической физики . 39 (4). Springer US (опубликовано в апреле 2000 г.): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Бибкод : 1999math.ph..11028A . дои : 10.1023/А:1003694206391 . S2CID   18686364 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 75ffdcc1be174d4cd349b0e87e776b2c__1720245120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/75/2c/75ffdcc1be174d4cd349b0e87e776b2c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Covering space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)