Местная собственность
В математике говорят, что математический объект удовлетворяет какому-либо свойству локально , если это свойство удовлетворяется на некоторых ограниченных, непосредственных частях объекта (например, на некоторых достаточно малых или сколь угодно малых окрестностях точек).
Свойства точки функции [ править ]
Возможно, самый известный пример идеи локальности лежит в концепции локального минимума (или локального максимума ), который представляет собой точку функции, функциональное значение которой является наименьшим (соответственно, наибольшим) в непосредственной близости от точек. [1] Это следует противопоставить идее глобального минимума (или глобального максимума), который соответствует минимуму (соответственно, максимуму) функции во всей ее области определения. [2] [3]
Свойства одного пространства [ править ]
Иногда говорят, что топологическое пространство проявляет свойство локально , если свойство проявляется «около» каждой точки одним из следующих способов:
- У каждой точки есть окрестности , демонстрирующие это свойство;
- Каждая точка имеет базу окрестностей множеств, демонстрирующих это свойство.
Здесь обратите внимание, что условие (2) по большей части сильнее, чем условие (1), и что следует проявлять особую осторожность, чтобы различать их. Например, некоторые вариации в определении локально компактного могут возникнуть в результате различного выбора этих условий.
Примеры [ править ]
- Локально компактные топологические пространства
- локальной связности и локальной связности Топологические пространства
- Локально Хаусдорф , Локально регулярный, Локально нормальный и т.д.
- Локально метризуемый
Свойства пары пробелов [ править ]
Учитывая некоторое понятие эквивалентности (например, гомеоморфизма , диффеоморфизма , изометрии ) между топологическими пространствами , два пространства называются локально эквивалентными, если каждая точка первого пространства имеет окрестность, эквивалентную окрестностям второго пространства.
Например, круг и линия — совершенно разные объекты. Невозможно растянуть круг так, чтобы он выглядел как линия, или сжать линию так, чтобы она поместилась в круг без пробелов и перекрытий. Однако небольшой кусочек круга можно растянуть и сплющить, чтобы он выглядел как небольшой кусочек линии. По этой причине можно сказать, что окружность и прямая локально эквивалентны.
Точно так же сфера и плоскость локально эквивалентны. Достаточно маленький наблюдатель, стоящий на поверхности сферы (например, человек и Земля), счел бы ее неотличимой от плоскости.
Свойства бесконечных групп [ править ]
Для бесконечной группы «маленькой окрестностью» считается конечно порожденная подгруппа . Бесконечная группа называется локально P , если каждая конечно порожденная подгруппа есть P . Например, группа локально конечна , если каждая конечно порожденная подгруппа конечна, и группа локально разрешима, если каждая конечно порожденная подгруппа разрешима .
Свойства конечных групп [ править ]
Для конечных групп «малой окрестностью» считается подгруппа, определенная через простое число p , обычно это локальные подгруппы , нормализаторы нетривиальных p -подгрупп . В этом случае свойство называется локальным, если его можно обнаружить по локальным подгруппам. Глобальные и локальные свойства составляли значительную часть ранних работ по классификации конечных простых групп , которые проводились в 1960-х годах.
Свойства коммутативных колец [ править ]
Для коммутативных колец идеи алгебраической геометрии делают естественным принять «малую окрестность» кольца за локализацию в простом идеале . В этом случае свойство называется локальным, если его можно обнаружить по локальным кольцам . Например, быть плоским модулем над коммутативным кольцом — локальное свойство, а быть свободным модулем — нет. Подробнее см. Локализация модуля .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ «Определение локального максимума | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 30 ноября 2019 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Локальный минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2019 г.
- ^ «Максимумы, минимумы и седловые точки» . Ханская академия . Проверено 30 ноября 2019 г.