Форма кривизны

В дифференциальной геометрии форма кривизны описывает кривизну связности расслоении на главном . Тензор кривизны Римана в римановой геометрии можно рассматривать как частный случай.

Определение

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, и P → B — главное G -расслоение . Пусть ω — связность Эресмана на P (которая является связностью ${\mathfrak {g}}$-значная одноформа на P ).

Тогда кривизны форма ${\mathfrak {g}}$-значная 2-форма на P, определенная формулой

$\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .$

(В другом соглашении 1/2 не фигурирует.) Здесь $d$ означает внешнюю производную , $[\cdot \wedge \cdot ]$ определяется в статье « Форма со значениями алгебры Ли », а D обозначает внешнюю ковариантную производную . Другими словами,

$\,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]$

где X , Y касательные векторы к P. —

Существует и другое выражение для Ω: если X , Y — горизонтальные векторные поля на P , то

$\sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]$

где hZ означает горизонтальную составляющую Z , справа мы определили вертикальное векторное поле и порождающий его элемент алгебры Ли ( фундаментальное векторное поле ), а $\sigma \in \{1,2\}$ является обратным коэффициенту нормализации, используемому по соглашению в формуле для внешней производной .

Соединение называется плоским, если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, соединение является плоским, если структурную группу можно свести к той же базовой группе, но с дискретной топологией.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B — векторное расслоение, то ω также можно рассматривать как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:

$\,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,$

где $\wedge$ это клиновое произведение . Точнее, если ${\omega ^{i}}_{j}$ и ${\Omega ^{i}}_{j}$ обозначают компоненты ω и Ω соответственно (поэтому каждое ${\omega ^{i}}_{j}$ является обычной 1-формой и каждая ${\Omega ^{i}}_{j}$ является обычной 2-формой), то

$\Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.$

Например, для касательного расслоения риманова многообразия структурная группа — это O( n ), а Ω — это 2-форма со значениями в алгебре Ли O( n ), т.е. антисимметричные матрицы . В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т.е.

$\,R(X,Y)=\Omega (X,Y),$

используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.

Личности Бьянки

См. Также: Сокращенные личности Бьянки.

Смотрите также: Тензор кривизны Римана § Симметрии и тождества

Если $\theta$ — каноническая векторная 1-форма на расслоении реперов, кручение $\Theta$ формы подключения $\omega$ — векторная 2-форма, определяемая структурным уравнением

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,$

где, как указано выше, D обозначает внешнюю ковариантную производную .

Первое тождество Бьянки принимает вид

$D\Theta =\Omega \wedge \theta .$

Второе тождество Бьянки принимает вид

$\,D\Omega =0$

и в более общем смысле действителен для любого соединения в основном пакете .

Тождества Бьянки можно записать в тензорной записи как: $R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.$

Сжатые тождества Бьянки используются для вывода тензора Эйнштейна в уравнениях поля Эйнштейна , составляющих основную часть общей теории относительности .

Ссылки

• Шошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , Том I, Глава 2.5. Форма кривизны и уравнение структуры, стр. 75, Wiley Interscience .

См. также

• Подключение (основной пакет)
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Сокращенные личности Бьянки
• Тензор Эйнштейна
• Уравнения поля Эйнштейна
• Общая теория относительности
• Chern-Simons form
• Кривизна римановых многообразий
• Калибровочная теория