Фундаментальное векторное поле

В изучении математики и особенно геометрии дифференциальной фундаментальные векторные поля являются инструментом, описывающим бесконечно малое поведение гладкого действия группы Ли на гладком многообразии . Такие векторные поля находят важные приложения при изучении теории Ли , симплектической геометрии , изучении действий гамильтоновых групп .

Мотивация

Важно для приложений в математике и физике. ^[1] есть понятие потока на многообразии. В частности, если $M$ является гладким многообразием и $X$ является гладким векторным полем , мы заинтересованы в нахождении интегральных кривых для $X$ . Точнее, учитывая $p\in M$ кого-то интересуют кривые $\gamma _{p}:\mathbb {R} \to M$ такой, что:

\gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,

для которых локальные решения гарантируются Теоремой существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений . Если $X$ кроме того, является полным векторным полем , то поток $X$ , определяемый как совокупность всех интегральных кривых для $X$ , диффеоморфизмом является $M$ . Поток $\phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M$ данный $\phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)$ на самом деле является действием аддитивной группы Ли $(\mathbb {R} ,+)$ на $M$ .

И наоборот, каждое плавное действие $A:\mathbb {R} \times M\to M$ определяет полное векторное поле $X$ через уравнение:

X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).

Тогда это простой результат ^[2] что существует биективное соответствие между $\mathbb {R}$ действия по $M$ и полные векторные поля на $M$ .

На языке теории потоков векторное поле $X$ называется бесконечно малым генератором . ^[3] Интуитивно понятно, что поведение потока в каждой точке соответствует «направлению», указанному векторным полем. Естественный вопрос: можно ли установить подобное соответствие между векторными полями и более произвольными действиями группы Ли на $M$ .

Определение

Позволять $G$ группа Ли с соответствующей алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ . Кроме того, пусть $M$ быть гладким многообразием, наделенным гладким действием $A:G\times M\to M$ . Обозначим карту $A_{p}:G\to M$ такой, что $A_{p}(g)=A(g,p)$ , называемая картой орбиты $A$ соответствующий $p$ . ^[4] Для $X\in {\mathfrak {g}}$ , фундаментальное векторное поле $X^{\#}$ соответствующий $X$ является любым из следующих эквивалентных определений: ^[2]^[4]^[5]

$X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)$
$X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\right)$
$X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\left(\exp(tX),p\right)$

где $d$ является дифференциалом гладкого отображения и $0_{T_{p}M}$ — нулевой вектор в векторном пространстве $T_{p}M$ .

Карта ${\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto -X^{\#}$ тогда можно показать, что это гомоморфизм алгебры Ли . ^[5]

Приложения

Группы лжи

Алгебра Ли группы Ли $G$ могут быть отождествлены либо с лево-, либо с правоинвариантными векторными полями на $G$ . Это известный результат ^[3] что такие векторные поля изоморфны $T_{e}G$ , касательное пространство в точке идентичности. В самом деле, если мы позволим $G$ действуют на себя посредством умножения справа, соответствующие фундаментальные векторные поля являются в точности левоинвариантными векторными полями.

Гамильтоновы групповые действия

В мотивации было показано, что существует биективное соответствие между гладкими $\mathbb {R}$ действия и полные векторные поля. Аналогично существует биективное соответствие между симплектическими действиями ( индуцированные диффеоморфизмы все являются симплектоморфизмами ) и полными симплектическими векторными полями .

Близкая идея — это идея гамильтоновых векторных полей . Учитывая симплектическое многообразие $(M,\omega )$ , мы говорим, что $X_{H}$ является гамильтоновым векторным полем, если существует гладкая функция $H:M\to \mathbb {R}$ удовлетворительно:

dH=\iota _{X_{H}}\omega

где карта $\iota$ это интерьер продукт . определение действия гамильтоновой группы : Если Это мотивирует следующее $G$ является группой Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ и $A:G\times M\to M$ это групповое действие $G$ на гладком многообразии $M$ , тогда мы говорим, что $A$ является гамильтоновым групповым действием, если существует отображение моментов $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ такой, что для каждого: $X\in {\mathfrak {g}}$ ,

d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega ,

где $\mu ^{X}:M\to \mathbb {R} ,p\mapsto \langle \mu (p),X\rangle$ и $X^{\#}$ — фундаментальное векторное поле $X$

Ссылки

^ Хоу, Бо-Ю (1997), Дифференциальная геометрия для физиков , World Scientific Publishing Company , ISBN 978-9810231057
^ Jump up to: ^а ^б Ана Каннас да Силва (2008). Лекции по симплектической геометрии . Спрингер. ISBN 978-3540421955 .
^ Jump up to: ^а ^б Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Спрингер. ISBN 0-387-95448-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Оден, Мишель (2004). Действия тора на симплектических многообразиях . Биркхойзер. ISBN 3-7643-2176-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Либерманн, Полетт ; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Спрингер. ISBN 978-9027724380 .

[HouBook-1] Хоу, Бо-Ю (1997), Дифференциальная геометрия для физиков , World Scientific Publishing Company , ISBN 978-9810231057

[da_Silva-2] Jump up to: ^а ^б Ана Каннас да Силва (2008). Лекции по симплектической геометрии . Спрингер. ISBN 978-3540421955 .

[Lee-3] Jump up to: ^а ^б Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Спрингер. ISBN 0-387-95448-1 .

[Audin-4] Jump up to: ^а ^б Оден, Мишель (2004). Действия тора на симплектических многообразиях . Биркхойзер. ISBN 3-7643-2176-8 .

[Libermann-5] Jump up to: ^а ^б Либерманн, Полетт ; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Спрингер. ISBN 978-9027724380 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]