Карта импульса

В математике , особенно в симплектической геометрии , карта момента (или, по ложной этимологии, карта момента ) — инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Карта импульса обобщает классические понятия линейного и углового момента . Это важный ингредиент в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена-Вайнштейна ) факторы , обсуждаемые ниже, а также симплектические разрезы и суммы .

Формальное определение

Позволять $M$ быть многообразием симплектической формы $\omega$. Предположим, что группа Ли $G$ действует на $M$ через симплектоморфизмы (т.е. действие каждого $g$ в $G$ сохраняет $\omega$). Позволять ${\mathfrak {g}}$ — Ли алгебра $G$, ${\mathfrak {g}}^{*}$ его двойственный , и

$\langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$

соединение между ними. Любой $\xi$ в ${\mathfrak {g}}$ индуцирует векторное поле $\rho (\xi )$ на $M$ описывающее бесконечно малое действие $\xi$. Если быть точным, в какой-то момент $x$ в $M$ вектор $\rho (\xi )_{x}$ является

$\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,$

где $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ это экспоненциальная карта и $\cdot$ обозначает $G$-действие на $M$. Позволять $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ обозначим сжатие этого векторного поля с $\omega$. Потому что $G$ действует симплектоморфизмами, отсюда следует, что $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ закрыто всех (для $\xi$ в ${\mathfrak {g}}$).

Предположим, что $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ не просто замкнуто, но и точно, так что $\iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }$ для какой-то функции $H_{\xi }:M\to \mathbb {R}$. Если это так, то можно выбрать $H_{\xi }$ сделать карту $\xi \mapsto H_{\xi }$ линейный. Карта импульса для $G$-действие на $(M,\omega )$ это карта $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ такой, что

$\mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega$

для всех $\xi$ в ${\mathfrak {g}}$. Здесь $\langle \mu ,\xi \rangle$ это функция от $M$ к $\mathbb {R}$ определяется $\langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle$. Отображение импульса определяется однозначно с точностью до аддитивной константы интегрирования (на каждой компоненте связности).

Ан $G$-действие на симплектическом многообразии $(M,\omega )$ называется гамильтоновым, если оно симплектично и существует отображение момента.

Часто также требуется карта импульса. $G$-эквивариантный , где $G$ действует на ${\mathfrak {g}}^{*}$ через коприсоединенное действие , и иногда это требование включается в определение гамильтонова группового действия. Если группа компактна или полупроста, то константу интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы сделать коприсоединенное отображение импульса эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединенное действие необходимо изменить, чтобы сделать отображение эквивариантным (это относится, например, к евклидовой группе ). Модификация осуществляется 1- коциклом группы со значениями в ${\mathfrak {g}}^{*}$, как впервые описано Сурио (1970).

Примеры карт импульса

В случае гамильтонова действия окружности $G=U(1)$, двойственная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}^{*}$ естественно отождествляется с $\mathbb {R}$, а карта импульса — это просто функция Гамильтона, которая порождает действие окружности.

Другой классический случай имеет место, когда $M$ представляет собой котангенс расслоения $\mathbb {R} ^{3}$ и $G$ — евклидова группа, порожденная вращениями и перемещениями. То есть, $G$ шестимерная группа, полупрямое произведение $\operatorname {SO} (3)$ и $\mathbb {R} ^{3}$. Тогда шестью компонентами карты количества движения являются три угловых момента и три линейных момента.

Позволять $N$ — гладкое многообразие и пусть $T^{*}N$ быть его коткасательным расслоением с отображением проекции $\pi :T^{*}N\rightarrow N$. Позволять $\tau$ обозначим тавтологическую 1-форму на $T^{*}N$. Предполагать $G$ действует на $N$. Индуцированное действие $G$ на симплектическом многообразии $(T^{*}N,\mathrm {d} \tau )$, заданный $g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta$ для $g\in G,\eta \in T^{*}N$ является гамильтоновым с отображением импульса $-\iota _{\rho (\xi )}\tau$ для всех $\xi \in {\mathfrak {g}}$. Здесь $\iota _{\rho (\xi )}\tau$ обозначает сжатие векторного поля $\rho (\xi )$, бесконечно малое действие $\xi$, с 1-формой $\tau$.

Факты, упомянутые ниже, могут быть использованы для создания дополнительных примеров карт импульса.

Некоторые факты о картах импульса

Позволять $G,H$ — группы Ли с алгебрами Ли ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}$, соответственно.

1. Позволять ${\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}$ быть коприсоединенной орбитой . Тогда существует единственная симплектическая структура на ${\mathcal {O}}(F)$ такая, что карта включения ${\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ это карта импульса.
2. Позволять $G$ действовать на симплектическом многообразии $(M,\omega )$ с $\Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ карту импульса для действия, и $\psi :H\rightarrow G$ — гомоморфизм группы Ли, индуцирующий действие $H$ на $M$. Тогда действие $H$ на $M$ также является гамильтоновым с отображением импульса, заданным выражением $(\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}$, где $(\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}$ это двойная карта для $(\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ ( $e$ обозначает единичный элемент $H$). Особый интерес представляет случай, когда $H$ является подгруппой Ли группы $G$ и $\psi$ это карта включения.
3. Позволять $(M_{1},\omega _{1})$ быть гамильтонианом $G$-многообразие и $(M_{2},\omega _{2})$ гамильтониан $H$-многообразие. Тогда естественное действие $G\times H$ на $(M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})$ является гамильтоновым, причем карта импульса представляет собой прямую сумму двух карт импульса. $\Phi _{G}$ и $\Phi _{H}$. Здесь $\omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}$, где $\pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}$ обозначает карту проекции.
4. Позволять $M$ быть гамильтонианом $G$-многообразие и $N$ подмногообразие $M$ инвариант относительно $G$ такая, что ограничение симплектической формы на $M$ к $N$ является невырожденным. Это придает симплектическую структуру $N$ естественным образом. Тогда действие $G$ на $N$ также является гамильтоновым, с отображением импульса, составляющим карту включения с $M$карта импульса.

Симплектические факторы

Предположим, что действие группы Ли $G$ на симплектическом многообразии $(M,\omega )$ является гамильтоновым, как определено выше, с эквивариантным отображением импульса $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$. Из условия Гамильтона следует, что $\mu ^{-1}(0)$ инвариантен относительно $G$.

Предположим теперь, что $G$ действует свободно и правильно на $\mu ^{-1}(0)$. Отсюда следует, что $0$ является регулярным значением $\mu$, так $\mu ^{-1}(0)$ и его частное $\mu ^{-1}(0)/G$ оба являются гладкими многообразиями. Фактор наследует симплектическую форму от $M$; то есть существует единственная симплектическая форма фактора, возврат которой к $\mu ^{-1}(0)$ равно ограничению $\omega$ к $\mu ^{-1}(0)$. Таким образом, фактор представляет собой симплектическое многообразие, называемое фактором Марсдена-Вайнштейна в честь ( Марсден и Вайнштейн 1974 ), симплектического фактора или симплектической редукции $M$ к $G$ и обозначается $M/\!\!/G$. Его размерность равна размерности $M$ минус удвоенная размерность $G$.

В более общем смысле, если G не действует свободно (но все же правильно), то ( Sjamaar & Lerman 1991 ) показало, что $M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G$ — стратифицированное симплектическое пространство, т. е. стратифицированное пространство с согласованными симплектическими структурами на стратах.

Плоские соединения на поверхности

Пространство $\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})$ связностей на тривиальном расслоении $\Sigma \times G$ на поверхности имеет бесконечномерную симплектическую форму

$\langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).$

Группа датчиков ${\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)$ действует на соединения путем сопряжения $g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag$. Идентифицировать ${\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}$ через интеграционное сопряжение. Тогда карта

$\mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]$

который отправляет соединение на его кривизну, является отображением моментов действия калибровочной группы на соединения. В частности, пространство модулей плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности $\mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}$ задается симплектической редукцией.

См. также

• коэффициент ГИТ
• Квантование коммутирует с сокращением
• Группа Пуассона – Ли
• Торическое многообразие
• Геометрическая механика
• Карта Кирвана
• Теорема Костанта о выпуклости
• БРСТ-квантование

Ссылки

• Ж.-М. Сурио, Структура динамических систем , Магистр математики, Дюно, Париж, 1970. ISSN   0750-2435 .
• С. К. Дональдсон и П. Б. Кронхаймер , Геометрия четырех многообразий , Oxford Science Publications, 1990. ISBN   0-19-850269-9 .
• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, Введение в симплектическую топологию , Oxford Science Publications, 1998. ISBN   0-19-850451-9 .
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN  978-0-7204-0494-4
• Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и редукция гамильтониана . Прогресс в математике. Том. 222. Биркхаузер Бостон. ISBN  0-8176-4307-9 .
• Оден, Мишель (2004), Действия тора на симплектических многообразиях , Progress in Mathematics, vol. 93 (Второе исправленное издание), Биркхойзер, ISBN  3-7643-2176-8
• Гиймен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1990), Симплектические методы в физике (второе изд.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-38990-9
• Вудворд, Крис (2010), Карты моментов и теория геометрических инвариантов , Les cours du CIRM, vol. 1, EUDML, стр. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
• Брюгьер, Ален (1987), «Свойства выпуклости приложения момента» (PDF) , Asterisk , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87
• Марсден, Джеррольд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с симметрией» , Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121–130, Бибкод : 1974RpMP....5..121M , doi : 10.1016/0034-4877( 74)90021-4
• Шьямаар, Рейер; Лерман, Юджин (1991), «Слоистые симплектические пространства и редукция» , Annals of Mathematics , 134 (2): 375–422, doi : 10.2307/2944350 , JSTOR   2944350