Теорема Константы о выпуклости

В математике теорема выпуклости Костанта , введенная Бертрамом Костантом ( 1973 ), утверждает, что проекция каждой коприсоединенной орбиты связной компактной группы Ли в двойственную подалгебре Картана является выпуклым множеством . Это частный случай более общего результата для симметрических пространств . Теорема Костанта является обобщением результата Шура (1923) , Хорна (1954) и Томпсона (1972) для эрмитовых матриц. Они доказали, что проекция на диагональные матрицы пространства всех n × n комплексных самосопряженных матриц с заданными собственными значениями Λ = (λ ₁ , ..., λ _n ) представляет собой выпуклый многогранник с вершинами, состоящими из всех перестановок координат Λ.

Костант использовал это, чтобы обобщить неравенство Голдена – Томпсона на все компактные группы.

Компактные группы Ли

Пусть K — связная компактная группа Ли с тором T и группой Вейля W = NK _{максимальным} ( T )/ T . Пусть их алгебры Ли будут ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {t}}$. Пусть P — ортогональная проекция ${\mathfrak {k}}$ на ${\mathfrak {t}}$ для некоторого Ad-инвариантного внутреннего продукта на ${\mathfrak {k}}$. Тогда для X в ${\mathfrak {t}}$, P (Ad( K )⋅ X ) — выпуклый многогранник с вершинами w ( X ), где w пробегает группу Вейля.

Симметричные пространства

Пусть G — компактная группа Ли и σ — инволюция с K — компактной подгруппой, фиксированной σ и содержащей единичный компонент подгруппы неподвижных точек σ. Таким образом, G / K — симметрическое пространство компактного типа. Позволять ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {k}}$ — их алгебры Ли, и пусть σ также обозначает соответствующую инволюцию ${\mathfrak {g}}$. Позволять ${\mathfrak {p}}$ — собственное пространство −1 σ и пусть ${\mathfrak {a}}$ — максимальное абелевое подпространство. Пусть Q — ортогональная проекция ${\mathfrak {p}}$ на ${\mathfrak {a}}$ для некоторого Ad( K )-инвариантного скалярного произведения на ${\mathfrak {p}}$. Тогда для X в ${\mathfrak {a}}$, Q (Ad( K )⋅ X ) — выпуклый многогранник с вершинами w ( X ), где w пробегает ограниченную группу Вейля (нормализатор ${\mathfrak {a}}$ в K по модулю его централизатора).

Случай компактной группы Ли — это частный случай, когда G = K × K , K вложен по диагонали, а σ — автоморфизм группы G , меняющий местами два множителя.

Доказательство для компактной группы Ли.

Доказательство Костанта для симметричных пространств приведено в работе Хелгасона (1984) . Существует элементарное доказательство только для компактных групп Ли, использующее аналогичные идеи, принадлежащее Вильдбергеру (1993) : оно основано на обобщении алгоритма собственных значений Якоби на компактные группы Ли.

Пусть K связная компактная группа Ли с максимальным тором T. — Для каждого положительного корня α существует гомоморфизм SU(2) в K . Простой расчет с матрицами 2 на 2 показывает, что если Y находится в ${\mathfrak {k}}$ и k меняется в этом образе SU(2), то P (Ad( k )⋅ Y ) проводит прямую линию между P ( Y ) и его отражением в корне α. В частности, компонент в корневом пространстве α — его «недиагональная координата α» — может быть отправлен в 0. При выполнении этой последней операции расстояние от P ( Y ) до P (Ad( k )⋅ Y ) ограничено. выше по размеру α недиагональной координаты Y . Пусть m — количество положительных корней, половина размерности K / T . Начиная с произвольного Y _1, возьмите наибольшую недиагональную координату и обнулите ее, чтобы получить Y ₂ . Продолжайте таким же образом, чтобы получить последовательность ( Y _n ). Затем

$\displaystyle {\|P^{\perp }(Y_{n+1})\|^{2}\leq \left({m-1 \over m}\right)\|P^{\perp }(Y_{n})\|^{2}.}$

Таким образом, П ^⊥ ( Y _n ) стремится к 0 и

$\displaystyle {\|P(Y_{n+1}-Y_{n})\|\leq \|P^{\perp }(Y_{n})\|.}$

Следовательно, X _n = P ( Y _n ) — последовательность Коши, поэтому стремится к X в ${\mathfrak {t}}$. Поскольку Y _n = P ( Y _n ) ⊕ P ^⊥ ( Y _n ), Y _n стремится к X . С другой стороны, X _n лежит на отрезке, соединяющем X _{n +1} и его отражение в корне α. Таким образом, X _n лежит в многограннике группы Вейля, определяемом X _{n +1} . Таким образом, эти выпуклые многогранники увеличиваются с n увеличением следовательно, P ( Y ) лежит в многограннике для X. и , можно повторить для каждого Z на K -орбите X. Это Предел обязательно находится в орбите группы Вейля X и, следовательно, P (Ad( K )⋅ X ) содержится в выпуклом многограннике, определенном W ( X ).

Чтобы доказать обратное включение, возьмем X в качестве точки положительной камеры Вейля. Тогда все остальные точки Y в выпуклой оболочке W ( X ) могут быть получены серией путей в этом пересечении, движущихся вдоль отрицательного значения простого корня. (Это соответствует знакомой картине из теории представлений: если по двойственности X соответствует доминирующему весу λ, другие веса в многограннике группы Вейля, определяемом λ, - это те, которые появляются в неприводимом представлении K с наибольшим весом λ. Аргумент с понижением операторов показывает, что каждый такой вес связан цепочкой с λ, полученным последовательным вычитанием простых корней из λ. ) Каждую часть пути от X до Y можно получить с помощью процесса, описанного выше для копий SU(2), соответствующих простым корням, поэтому весь выпуклый многогранник лежит в P (Ad( K )⋅ X ).

Другие доказательства

Хекман (1982) дал еще одно доказательство теоремы выпуклости для компактных групп Ли, также представленное в Hilgert, Hofmann & Lawson (1989) . Для компактных групп Атья (1982) и Гийемен и Штернберг (1982) показали, что если M — симплектическое многообразие с гамильтоновым действием тора T с алгеброй Ли ${\mathfrak {t}}$, то изображение карты момента

$\displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}}$

— выпуклый многогранник с вершинами в образе множества неподвижных точек T (образ — конечное множество). Взяв в качестве M коприсоединенную орбиту K в ${\mathfrak {k}}^{*}$, отображение моментов для T представляет собой композицию

$\displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {k}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}.}$

Использование внутреннего продукта, инвариантного к рекламе, для идентификации ${\mathfrak {k}}^{*}$ и ${\mathfrak {k}}$, карта становится

$\displaystyle {\mathrm {Ad} (K)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {t}},}$

ограничение ортогональной проекции. Принимая Х ​ ${\mathfrak {t}}$, неподвижные точки T на орбите Ad( K )⋅ X — это не что иное, как орбита относительно группы Вейля W ( X ). Таким образом, свойства выпуклости карты моментов подразумевают, что изображение представляет собой выпуклый многогранник с этими вершинами. Зиглер (1992) дал упрощенную прямую версию доказательства с использованием отображений моментов.

Дуистермаат (1983) показал, что обобщение свойств выпуклости отображения моментов можно использовать для рассмотрения более общего случая симметричных пространств. Пусть τ — гладкая инволюция M , переводящая симплектическую форму ω в −ω и такая, что t ∘ τ = τ ∘ t ⁻¹ . Тогда M и множество неподвижных точек τ (предполагаемое непустым) имеют одинаковый образ при отображении моментов. Чтобы применить это, пусть T = exp ${\mathfrak {a}}$, тор в G . Если X находится в ${\mathfrak {a}}$ как и прежде, карта момента дает карту проекции

$\displaystyle {\mathrm {Ad} (G)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {a}}.}$

Пусть τ — отображение τ( Y ) = − σ( Y ). Карта выше имеет тот же образ, что и образ множества неподвижных точек τ, т.е. Ad( K )⋅ X . Его образ — это выпуклый многогранник с вершинами — образом множества неподвижных точек T на Ad( G )⋅ X , т.е. точек w ( X ) для w в W = NK ₍ T ) /C _K ( T ).

Дальнейшие направления

В Костанте (1973) теорема выпуклости выводится из более общей теоремы выпуклости, касающейся проекции на компоненту A в разложении Ивасавы G = KAN вещественной полупростой группы Ли G . выше результат для компактных групп Ли K соответствует частному случаю, когда G является комплексификацией K Обсужденный : в этом случае алгебра Ли A может быть отождествлена ​​с $i{\mathfrak {t}}$. Более общая версия теоремы Костанта также была обобщена на полупростые симметрические пространства Ван ден Баном (1986) . Кац и Петерсон (1984) дали обобщение для бесконечномерных групп.

Ссылки

• Атья, М.Ф. (1982), "Выпуклость и коммутирующие гамильтонианы", Bull. Лондонская математика. Соц. , 14 : 1–15, CiteSeerX   10.1.1.396.48 , doi : 10.1112/blms/14.1.1
• Дуистермаат, JJ (1983), "Выпуклость и теснота ограничений гамильтоновых функций на множества неподвижных точек антисимплектической инволюции", Trans. амер. Математика. Соц. , 275 : 417–429, doi : 10.1090/s0002-9947-1983-0678361-2
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Гиймен, В.; Штернберг, С. (1982), "Свойства выпуклости отображения моментов", Изобр. Математика. , 67 (3): 491–513, doi : 10.1007/bf01398933
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, стр. 473–476 , ISBN  978-0-12-338301-3
• Хильгерт, Иоахим; Хофманн, Карл Генрих; Лоусон, Джимми Д. (1989), Группы Ли, выпуклые конусы и полугруппы , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853569-0
• Хекман, Г.Дж. (1982), "Проекции орбит и асимптотическое поведение кратностей для компактных связных групп Ли", Invent. Математика. , 67 (2): 333–356, doi : 10.1007/bf01393821
• Хорн, Альфред (1954), «Дважды стохастические матрицы и диагональ матрицы вращения», Amer. Дж. Математика. , 76 (3): 620–630, номер документа : 10.2307/2372705 , JSTOR   2372705.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для аспирантов по математике, том. 9 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3540900535
• Кац, В.Г.; Петерсон, Д.Х. (1984), "Унитарная структура в представлениях бесконечномерных групп и теорема выпуклости", Invent. Математика. , 76 : 1–14, doi : 10.1007/bf01388487 , hdl : 2027.42/46611
• Костант, Бертрам (1973), «О выпуклости, группе Вейля и разложении Ивасавы», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 413–455, doi : 10.24033/asens.1254 , ISSN   0012-9593 , МР   0364552
• Шур, И. (1923), «О классе средних формаций с приложениями к детерминантной теории», Труды Берлинского математического общества , 22 : 9–20.
• Томпсон, Колин Дж. (1972), «Неравенства и частичные порядки в матричных пространствах» , Университет Индианы. Математика. J. , 21 (5): 469–480, номер документа : 10.1512/iumj.1972.21.21037.
• ван ден Бан, Эрик П. (1986), «Теорема выпуклости для полупростых симметричных пространств», Pacific J. Math. , 124 : 21–55, doi : 10.2140/pjm.1986.124.21
• Вильдбергер, Нью-Джерси (1993), «Диагонализация в компактных алгебрах Ли и новое доказательство теоремы Костанта», Proc. амер. Математика. Соц. , 119 (2): 649–655, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1151817-6
• Циглер, Франсуа (1992), «О теореме Костанта о выпуклости», Proc. амер. Математика. Соц. , 115 (4): 1111–1113, doi : 10.1090/s0002-9939-1992-1111441-7