Коприсоединенное представление

В математике коприсоединенное представление $K$ Ли группы $G$ является двойственным к присоединенному представлению . Если ${\mathfrak {g}}$ обозначает Ли алгебру $G$ , соответствующее действие $G$ на ${\mathfrak {g}}^{*}$ , пространство двойное ${\mathfrak {g}}$ , называется коприсоединенным действием . Геометрическая интерпретация – это действие левого переноса на пространство правоинвариантных 1-форм на $G$ .

Важность коприсоединенного представления была подчеркнута работой Александра Кириллова , который показал, что для нильпотентных групп Ли $G$ основную роль в их теории представлений играют коприсоединенные орбиты .В методе орбит Кириллова представления $G$ строятся геометрически, исходя из коприсоединенных орбит. В некотором смысле они играют роль замены классов сопряженности $G$ , что опять-таки может быть сложным, хотя орбиты относительно управляемы.

Формальное определение

Позволять $G$ быть группой Ли и ${\mathfrak {g}}$ — ее алгебра Ли. Позволять $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ обозначим присоединенное представление $G$ . Тогда коприсоединенное представление $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})$ определяется

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g}^{-1}Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle

для

g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},

где $\langle \mu ,Y\rangle$ обозначает значение линейного функционала $\mu$ на векторе $Y$ .

Позволять $\mathrm {ad} ^{*}$ обозначим представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ на ${\mathfrak {g}}^{*}$ индуцированный коприсоединенным представлением группы Ли $G$ . Тогда бесконечно малая версия определяющего уравнения для $\mathrm {Ad} ^{*}$ читает:

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu ,[X,Y]\rangle

для

X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}

где $\mathrm {ad}$ является присоединенным представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ .

Коприсоединенная орбита

Коприсоединенная орбита ${\mathcal {O}}_{\mu }$ для $\mu$ в двойном пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ из ${\mathfrak {g}}$ может быть определен либо внешне, как фактическая орбита $\mathrm {Ad} _{G}^{*}\mu$ внутри ${\mathfrak {g}}^{*}$ , или по сути как однородное пространство $G/G_{\mu }$ где $G_{\mu }$ является стабилизатором $\mu$ относительно сопряженного действия; это различие стоит сделать, поскольку вложение орбиты может быть сложным.

Коприсоединенные орбиты являются подмногообразиями ${\mathfrak {g}}^{*}$ и несут естественную симплектическую структуру. На каждой орбите ${\mathcal {O}}_{\mu }$ , существует замкнутый невырожденный $G$ -инвариантная 2-форма $\omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })$ унаследовано от ${\mathfrak {g}}$ следующим образом:

\omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,[X,Y]\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}

.

Корректность, невырожденность и $G$ -инвариантность $\omega$ следует из следующих фактов:

(i) Касательное пространство $\mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\{-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\mathfrak {g}}\}$ может быть отождествлен с ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }$ , где ${\mathfrak {g}}_{\nu }$ является алгеброй Ли $G_{\nu }$ .

(ii) Ядро отображения $X\mapsto \langle \nu ,[X,\cdot ]\rangle$ это точно ${\mathfrak {g}}_{\nu }$ .

(iii) Билинейная форма $\langle \nu ,[\cdot ,\cdot ]\rangle$ на ${\mathfrak {g}}$ инвариантен относительно $G_{\nu }$ .

$\omega$ тоже закрыто . Каноническая 2-форма $\omega$ иногда называют симплектической формой Кириллова-Константа-Сурио или формой ККС на коприсоединенной орбите.

Свойства коприсоединенных орбит

Коприсоединенное действие на коприсоединенной орбите $({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )$ является гамильтонианом $G$ -действие с отображением импульса, заданным включением ${\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ .