Орбитальный метод

В математике метод орбит (также известный как теория Кириллова , метод коприсоединенных орбит и под несколькими похожими названиями) устанавливает соответствие между неприводимыми унитарными представлениями группы Ли и ее коприсоединенными орбитами : орбитами действия группы на двойственное пространство к ее алгебре Ли . Теория была введена Кирилловым ( 1961 , 1962 ) для нильпотентных групп и позднее распространена Бертрамом Костантом , Луисом Ауслендером , Лайошем Пукански и другими на случай разрешимых групп . Роджер Хоу нашел версию метода орбит, применимую к p -адическим группам Ли. ^[1]Дэвид Воган предположил, что метод орбит должен служить объединяющим принципом при описании унитарных двойников вещественных редуктивных групп Ли. ^[2]

Связь с симплектической геометрией

Одним из ключевых наблюдений Кириллова было то, что коприсоединенные орбиты группы Ли G имеют естественную структуру симплектических многообразий , симплектическая структура которых инвариантна относительно G . Если орбита является фазовым пространством , G -инвариантной классической механической системы то соответствующая квантово-механическая система должна описываться через неприводимое унитарное представление G . Геометрические инварианты орбиты переходят в алгебраические инварианты соответствующего представления. Таким образом, метод орбит можно рассматривать как точное математическое проявление расплывчатого физического принципа квантования. В случае нильпотентной группы G соответствие включает в себя все орбиты, но для общей G необходимы дополнительные ограничения на орбиту (поляризуемость, целочисленность, условие Пуканского). Эта точка зрения была существенно развита Константином в его теории геометрического квантования коприсоединенных орбит.

Kirillov character formula

Для группы Лжи $G$ дает Метод орбит Кириллова эвристический метод в теории представлений . Он соединяет преобразования Фурье коприсоединенных орбит , лежащих в дуальном пространстве алгебры Ли группы G , с инфинитезимальными характерами неприводимых представлений . Метод получил свое название в честь русского математика Александра Кириллова .

В самом простом виде он утверждает, что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье дельта - функции Дирака , поддерживаемой на коприсоединенных орбитах, взвешенных квадратным корнем якобиана экспоненциального отображения , обозначаемого $j$ . Это не применимо ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные , некоторые полупростые группы и компактные группы .

Особые случаи

Случай нильпотентной группы

Пусть G — связная односвязная нильпотентная группа Ли . Кириллов доказал, что классы эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G параметризуются коприсоединенными орбитами группы G , то есть орбитами действия G на дуальном пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ ее алгебры Ли. Формула характера Кириллова выражает Хариш-Чандры характер представления как некоторый интеграл по соответствующей орбите.

Компактный корпус группы Ли

Комплексные неприводимые представления компактных групп Ли полностью классифицированы. Они всегда конечномерны, унитаризуемы (т.е. допускают инвариантную положительно определенную эрмитову форму ) и параметризуются своими старшими весами , которые в точности являются доминирующими целыми весами для группы. Если G — компактная полупростая группа Ли с подалгеброй Картана h , то ее коприсоединенные орбиты замкнуты и каждая из них пересекает положительную камеру Вейля h. ^*₊ в одной точке. Орбита является целой , если эта точка принадлежит решетке весов G .Теорию старшего веса можно переформулировать в форме биекции между множеством целочисленных коприсоединенных орбит и множеством классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G : представление со старшим весом L ( λ ) со старшим весом λ ∈ h ^*₊ соответствует целой коприсоединенной орбите G · λ . Формула характера Кириллова сводится к формуле характера, ранее доказанной Хариш-Чандрой .

См. также

Ссылки

^ Хоу, Роджер (1977), «Теория Кириллова для компактных p-адических групп», Pacific Journal of Mathematics , 73 (2): 365–381, doi : 10.2140/pjm.1977.73.365
^ Воган, Дэвид (1986), «Представления редуктивных групп Ли», Труды Международного конгресса математиков (Беркли, Калифорния) : 245–266.

Дальфо; Педерсон; Вернь (1990), Метод орбит в теории представлений: материалы конференции, состоявшейся в Копенгагене с августа по сентябрь 1988 г. (Прогресс в математике) , Биркхойзер
Kirillov, A. A. (1961), "Unitary representations of nilpotent Lie groups", Doklady Akademii Nauk SSSR , 138 : 283–284, ISSN 0002-3264 , MR 0125908
Кириллов А. А. (1962), "Унитарные представления нильпотентных групп Ли", Российский математический обзор , 17 (4): 53–104, doi : 10.1070/RM1962v017n04ABEH004118 , ISSN 0042-1316 , MR 0142001
Кириллов А.А. (1976) [1972], Элементы теории представлений , Основы математических наук, вып. 220, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-07476-4 , МР 0412321
Кириллов А.А. (1999), "Достоинства и недостатки орбитального метода" , Бюлл. амер. Математика. Соц. , 36 (4): 433–488, номер документа : 10.1090/s0273-0979-99-00849-6 .
Кириллов А.А. (2001) [1994], «Метод орбиты» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Кириллов А.А. (2004), Лекции по методу орбит , Аспирантура по математике , вып. 64, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-3530-2 .

[1] Хоу, Роджер (1977), «Теория Кириллова для компактных p-адических групп», Pacific Journal of Mathematics , 73 (2): 365–381, doi : 10.2140/pjm.1977.73.365

[2] Воган, Дэвид (1986), «Представления редуктивных групп Ли», Труды Международного конгресса математиков (Беркли, Калифорния) : 245–266.

[1]

[2]