Геометрическое квантование

В математической физике геометрическое квантование — это математический подход к определению квантовой теории, соответствующей данной классической теории . Он пытается осуществить квантование не существует , для которого вообще точного рецепта, таким образом, чтобы определенные аналогии между классической теорией и квантовой теорией оставались очевидными. Например, сходство между уравнением Гейзенберга в картине Гейзенберга в квантовой механике и уравнением Гамильтона должно быть встроено в классической физике.

Происхождение

Одной из самых ранних попыток естественного квантования было квантование Вейля , предложенное Германом Вейлем в 1927 году. Здесь делается попытка связать квантовомеханическую наблюдаемую ( самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ) с действительной функцией. в классическом фазовом пространстве . Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются в генераторы группы Гейзенберга , а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга . В 1946 году Х. Дж. Гроневолд рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и задался вопросом, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию в фазовом пространстве звездного произведения пары функций .

Современная теория геометрического квантования была разработана Бертрамом Костантом и Жаном-Мари Сурио в 1970-х годах. Одной из целей создания теории было понимание и обобщение метода орбит Кириллова в теории представлений.

Типы

Процедура геометрического квантования состоит из следующих трех этапов: предварительное квантование, поляризация и метаплектическая коррекция. Предварительное квантование создает естественное гильбертово пространство вместе с процедурой квантования наблюдаемых, которая точно преобразует скобки Пуассона на классической стороне в коммутаторы на квантовой стороне. Тем не менее, предквантовое гильбертово пространство обычно считается «слишком большим». Идея состоит в том, что затем следует выбрать коммутирующий по Пуассону набор из n переменных в 2 n -мерном фазовом пространстве и рассмотреть функции (или, точнее, сечения), которые зависят только от этих n переменных. переменных n могут быть либо вещественными, что приводит к созданию гильбертова пространства позиционного типа, либо комплексно-аналитическим, создавая что-то вроде пространства Сигала-Баргмана . Поляризация — это координатно-независимое описание такого выбора n пуассоновских функций. Метаплектическая коррекция (также известная как коррекция полуформы) представляет собой техническую модификацию описанной выше процедуры, необходимую в случае реальных поляризаций и часто удобную для сложных поляризаций.

Предварительное квантование

Предполагать $(M,\omega )$ является симплектическим многообразием с симплектической формой $\omega$. Предположим сначала, что $\omega$ является точным, что означает, что существует глобально определенный симплектический потенциал $\theta$ с $d\theta =\omega$. Мы можем рассмотреть «предквантовое гильбертово пространство» интегрируемых с квадратом функций на $M$ (относительно меры объема Лиувилля). Для каждой гладкой функции $f$ на $M$, мы можем определить предквантовый оператор Костанта–Сурио

$Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1}{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f$.

где $X_{f}$ — векторное поле Гамильтона, связанное с $f$.

В более общем плане, предположим $(M,\omega )$ обладает тем свойством, что интеграл $\omega /(2\pi \hbar )$ над любой замкнутой поверхностью является целым числом. Тогда мы можем построить линейный расслоение $L$ со связью, 2-форма кривизны которой равна $\omega /\hbar$. В этом случае предквантовое гильбертово пространство представляет собой пространство интегрируемых с квадратом сечений $L$, и заменим формулу для $Q(f)$ выше с

$Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f$,

с $\nabla$ связь.Предквантовые операторы удовлетворяют

$[Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})$

для всех плавных функций $f$ и $g$.

Конструкция предыдущего гильбертова пространства и операторов $Q(f)$ известен как предварительное квантование .

Поляризация

Следующим шагом в процессе геометрического квантования является выбор поляризации. Поляризация – это выбор в каждой точке $M$ лагранжево подпространство комплексифицированного касательного пространства $M$. Подпространства должны образовывать интегрируемое распределение, а это означает, что коммутатор двух векторных полей, лежащих в подпространстве в каждой точке, также должен лежать в подпространстве в каждой точке. Квантовое (в отличие от доквантового) гильбертово пространство — это пространство сечений $L$ которые ковариантно постоянны в направлении поляризации. Идея состоит в том, что в квантовом гильбертовом пространстве сечения должны быть функциями только $n$ переменные на $2n$-мерное классическое фазовое пространство.

Если $f$ — функция, для которой ассоциированный гамильтонов поток сохраняет поляризацию, то $Q(f)$ сохранит квантовое гильбертово пространство. Предположение, что поток $f$ сохранить поляризацию сильной. Обычно не так уж много функций удовлетворяют этому предположению.

Коррекция полуформы

Коррекция полуформы, также известная как метаплектическая коррекция, представляет собой техническую модификацию описанной выше процедуры, которая необходима в случае реальных поляризаций для получения ненулевого квантового гильбертова пространства; это также часто полезно в сложных случаях. Линейный пакет $L$ заменяется тензорным произведением $L$ с квадратным корнем из канонического расслоения $L$. Например, в случае вертикальной поляризации вместо рассмотрения функций $f(x)$ из $x$ которые независимы от $p$, рассматриваются объекты вида $f(x){\sqrt {dx}}$. Формула для $Q(f)$ затем должен быть дополнен дополнительным производным членом Ли. Например, в случае сложной поляризации на плоскости поправка на полуформу позволяет квантованию гармонического осциллятора воспроизвести стандартную квантовомеханическую формулу для энергий: $(n+1/2)\hbar \omega$, с " $+1/2$" любезно предоставлено полуформами.

Многообразия Пуассона

Также развито геометрическое квантование пуассоновских многообразий и симплектических слоений. Например, это случай частично интегрируемых и суперинтегрируемых гамильтоновых систем и неавтономной механики .

Пример

В случае, когда симплектическим многообразием является 2-сфера , его можно реализовать как коприсоединенную орбиту в ${\mathfrak {su}}(2)^{*}$. Предполагая, что площадь сферы является целым кратным $2\pi \hbar$, мы можем выполнить геометрическое квантование, и полученное гильбертово пространство будет содержать неприводимое представление SU(2) . В случае, когда площадь сферы равна $2\pi \hbar$, мы получаем двумерное представление спина 1/2 .

Обобщение

В более общем смысле, этот метод приводит к квантованию деформации , где ★-произведение считается деформацией алгебры функций на симплектическом многообразии или многообразии Пуассона . Однако как естественная схема квантования (функтор) карта Вейля неудовлетворительна. Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента — это не просто квантовый оператор квадрата углового момента, но также содержит постоянный член 3ħ ² /2. (Этот дополнительный член на самом деле имеет физическое значение, поскольку он объясняет ненулевой угловой момент орбиты Бора в основном состоянии в атоме водорода. Однако, являясь простым изменением представления, карта Вейля лежит в основе альтернативной в фазовом пространстве формулировки традиционной квантовой механики .

См. также

• Полуформа
• Лагранжево слоение
• Kirillov orbit method
• Квантование коммутирует с сокращением

Источники

• Бейтс, С; Вайнштейн, А. (1996). Лекции по геометрии квантования . Американское математическое общество. ISBN  978-082180798-9 .
• Даль, Дж.; Шляйх, В. (2002). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор А. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Бибкод : 2002PhRvA..65b2109D . дои : 10.1103/PhysRevA.65.022109 . S2CID   39409789 .
• Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (2005). Геометрические и алгебро-топологические методы в квантовой механике . Всемирная научная. ISBN  981-256-129-3 .
• Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
• Холл, Британская Колумбия (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. Спрингер. ISBN  978-146147115-8 .
• Конг, К. (2006). От микро-к макроквантовым системам (Единый формализм с правилами суперотбора и его приложения) . Всемирная научная. ISBN  978-1-86094-625-7 .
• Снятицкий, Ю. (1980). Геометрическое квантование и квантовая механика . Спрингер. ISBN  0-387-90469-7 .
• Вайсман, И. (1991). Лекции по геометрии пуассоновских многообразий . Биркгаузер. ISBN  978-3-7643-5016-1 .
• Вудхаус, Нью-Джерси (1991). Геометрическое квантование . Кларендон Пресс. ISBN  0-19-853673-9 .

Внешние ссылки

• Обзор геометрического квантования Уильяма Риттера представляет общую основу для всех проблем физики и вписывает геометрическое квантование в эту структуру. arXiv : math-ph/0208008
• Обзор Джона Баэза на геометрическое квантование , написанный Джоном Баэзом , краток и педагогичен.
• Учебник Матиаса Блау по геометрическому квантованию , один из немногих хороших учебников (только в формате ps)
• А. Эчеверриа-Энрикес, М. Муньос-Леканда, Н. Роман-Рой, Математические основы геометрического квантования, arXiv : math-ph/9904008 .
• Г. Сарданашвили , Геометрическое квантование симплектических слоений, arXiv : math/0110196 .