Теорема Бореля–Вейля–Ботта.

В математике теорема Бореля -Вейля-Ботта является основным результатом теории представлений групп Ли , показывающим, как семейство представлений может быть получено из голоморфных сечений некоторых комплексных векторных расслоений и, в более общем смысле, из когомологий высшего пучка. групп связанные с такими связками. Он построен на более ранней теореме Бореля-Вейля Армана Бореля и Андре Вейля , касающейся только пространства сечений (нулевой группы когомологий), расширение до групп более высоких когомологий было предоставлено Раулем Боттом . Серра Точно так же, через GAGA , это можно рассматривать как результат сложной алгебраической геометрии в топологии Зариского .

Формулировка

Пусть G — полупростая группа Ли или алгебраическая группа над $\mathbb {C}$и зафиксируем максимальный тор T вместе с борелевской подгруппой B , содержащей T . Пусть λ — вес T ; целый λ естественным образом определяет одномерное представление C _λ группы B возвращая назад представление на = B / U , где U — унипотентный радикал B. , T Поскольку мы можем думать о проекционном отображении G → G / B как о главном B -расслоении , для каждого C _λ мы получаем ассоциированное расслоение L _{− λ} на G / B (обратите внимание на знак), которое, очевидно, является линейным расслоением . Отождествляя L _λ с его пучком голоморфных сечений, рассмотрим когомологий пучковые группы $H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })$. Поскольку G действует на всем пространстве расслоения $L_{\lambda }$ благодаря автоморфизмам расслоений это действие естественным образом дает структуру G -модуля на этих группах; а теорема Бореля–Вейля–Ботта дает явное описание этих групп как G -модулей.

Сначала нам нужно описать действие группы Вейля с центром в $-\rho$. Для любого целого веса λ и w в группе Вейля W положим $w*\lambda :=w(\lambda +\rho )-\rho \,$, где ρ обозначает полусумму положительных корней G . Непосредственно проверяется, что это определяет групповое действие, хотя это действие не является линейным, в отличие от обычного действия группы Вейля. Кроме того, вес µ называется доминантным, если $\mu (\alpha ^{\vee })\geq 0$ для всех простых корней α . Пусть ℓ обозначает функцию длины на W .

Учитывая целочисленный вес λ , возможен один из двух случаев:

1. Нет $w\in W$ такой, что $w*\lambda$ является доминантным, то же самое означает, что существует нетождественность $w\in W$ такой, что $w*\lambda =\lambda$; или
2. Существует уникальный $w\in W$ такой, что $w*\lambda$ является доминирующим.

Теорема утверждает, что в первом случае имеем

$H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0$ для всех я ;

и во втором случае имеем

$H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0$ для всех $i\neq \ell (w)$, пока

$H^{\ell (w)}(G/B,\,L_{\lambda })$ является двойственным к неприводимому представлению группы G со старшим весом со старшим весом $w*\lambda$.

Стоит отметить, что случай (1) выше имеет место тогда и только тогда, когда $(\lambda +\rho )(\beta ^{\vee })=0$ для некоторого положительного корня β . Кроме того, мы получаем классическую теорему Бореля–Вейля как частный случай этой теоремы, принимая λ в качестве доминантного элемента, а w в качестве единичного элемента. $e\in W$.

Пример

Например, рассмотрим G = SL ₂ ( C ) , для которого G / B — сфера Римана , целочисленный вес задается просто целым числом n и ρ = 1 . Линейное L _n расслоение ${\mathcal {O}}(n)$, сечениями которого являются однородные многочлены степени n (т.е. бинарные формы ). В качестве представления G разделы можно записать как Sym ^н ( С ² )* и канонически изоморфен Sym ^н ( С ² ) .

Это сразу дает нам теорию представлений ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )$: $\Gamma ({\mathcal {O}}(1))$ является стандартным представлением, и $\Gamma ({\mathcal {O}}(n))$ — это его n- я симметричная степень . У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, полученное из ее реализации в виде векторных полей на сфере Римана: если H , X , Y — стандартные генераторы ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )$, затем

${\begin{aligned}H&=x{\frac {\partial }{\partial x}}-y{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]X&=x{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]Y&=y{\frac {\partial }{\partial x}}.\end{aligned}}$

Дополнительная информация: карта Иордании.

Положительная характеристика

Существует также более слабая форма этой теоремы в положительной характеристике. А именно, пусть G — полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>0$. Тогда остается верным, что $H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0$ для всех i, если λ — такой вес, что $w*\lambda$ не является доминирующим для всех $w\in W$ до тех пор, пока λ «близка к нулю». Это известно как теорема об исчезновении Кемпфа . Однако остальные утверждения теоремы в этой ситуации не остаются в силе.

Более явно, пусть λ — доминантный целочисленный вес; тогда это все еще правда, что $H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0$ для всех $i>0$, но уже не верно, что этот G -модуль, вообще говоря, прост, хотя он и содержит единственный модуль старшего веса старшего веса λ в качестве G -подмодуля. Если λ — произвольный целочисленный вес, то описание модулей когомологий на самом деле является большой нерешенной проблемой теории представлений. $H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })$ в общем. В отличие от более $\mathbb {C}$ не обязательно Мамфорд привел пример, показывающий, что при фиксированном λ , чтобы все эти модули были равны нулю, за исключением одной степени i .

Теорема Бореля – Вейля

Теорема Бореля-Вейля обеспечивает конкретную модель неприводимых представлений компактных групп Ли и неприводимых голоморфных представлений комплексных полупростых групп Ли . Эти представления реализуются в пространствах глобальных сечений голоморфных линейных расслоений на многообразии флагов группы. Теорема Бореля–Вейля–Ботта является ее обобщением на пространства высших когомологий. Теорема датируется началом 1950-х годов, ее можно найти у Серра (1954) и Титса (1955) .

Формулировка теоремы

Теорему можно сформулировать либо для комплексной полупростой группы Ли G, для ее компактной формы K. либо Пусть G — связная комплексная полупростая группа Ли, B — группы борелевская подгруппа G и X = G / B — флагов многообразие . В этом сценарии X — комплексное многообразие и неособое алгебраическое G -многообразие . Многообразие флагов также можно описать как компактное пространство K / T , где T = K ∩ B — (компактная) подгруппа Картана в K. однородное Целочисленный вес λ определяет G -эквивариантное голоморфное линейное расслоение L _λ на X , а группа G действует на его пространстве глобальных сечений:

$\Gamma (G/B,L_{\lambda }).\$

Теорема Бореля-Вейля утверждает, что если является доминантным целым весом, то это представление является голоморфным неприводимым со старшим весом представлением G λ со старшим весом λ . Его ограничение на K представляет собой неприводимое унитарное представление K , и со старшим весом λ каждое неприводимое унитарное представление K получается таким образом для уникального значения λ . (Голоморфным представлением комплексной группы Ли является такое представление, для которого соответствующее представление алгебры Ли является комплексным линейным.)

Конкретное описание

Вес λ порождает характер (одномерное представление) борелевской подгруппы B , который обозначается χ _λ . Голоморфные сечения голоморфного линейного расслоения L _λ над G / B можно более конкретно описать как голоморфные отображения

$f:G\to \mathbb {C} _{\lambda }:f(gb)=\chi _{\lambda }(b^{-1})f(g)$

для g ∈ G и b ∈ B. всех

Действие G на эти сечения определяется выражением

$g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)$

для грамм , час ​ G .

Пример

Пусть G — комплексная специальная линейная группа SL(2, C ) с борелевской подгруппой, состоящей из верхнетреугольных матриц с определителем единица. Целые веса для G могут быть идентифицированы с целыми числами , причем доминирующие веса соответствуют неотрицательным целым числам, а соответствующие символы χ _n из B имеют вид

$\chi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}=a^{n}.$

Многообразие флагов G / B можно отождествить с комплексной проективной прямой CP ¹ с однородными координатами X , Y и пространство глобальных сечений линейного расслоения L _n отождествляется с пространством однородных многочленов степени n на C ² . При n ≥ 0 это пространство имеет размерность n + 1 и образует неприводимое представление при стандартном действии G на алгебре многочленов C [ X , Y ] . Весовые векторы задаются мономами.

$X^{i}Y^{n-i},\quad 0\leq i\leq n$

весов 2 i − n и вектор старшего веса X ^н имеет вес n .

См. также

• Теорема о старшем весе

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 . .
• Бастон, Роберт Дж.; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений , Oxford University Press . ( перепечатано Дувром)
• «Теорема Ботта – Бореля – Вейля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Бореля-Вейля-Ботта , Джейкоб Лурье . Проверено 13 июля 2014 г.
• Серр, Жан-Пьер (1954) [1951], «Линейные представления и кэлеровы однородные пространства компактных групп Ли (после Армана Бореля) и Андре Вейля)», Séminaire Bourbaki (на французском языке), 2 (100): 447–454 .
• Титс, Жак (1955), О некоторых классах однородных пространств групп Ли , Акад. Рой. Бельгия. кл. Память Колл. (на французском языке), том. 29 .
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли. , Тексты для аспирантов по математике, вып. 235, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN.  9780387302638 .
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Принстонские ориентиры в математике, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . Перепечатка оригинала 1986 года.

Дальнейшее чтение

• Телеман, Константин (1998). «Теория Бореля – Вейля – Ботта о стеке модулей G -расслоений над кривой». Математические изобретения . 134 (1): 1–57. дои : 10.1007/s002220050257 . МР   1646586 .

Эта статья включает в себя материал из теоремы Бореля-Ботта-Вейля по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .