Карта Иордании

В теоретической физике отображение Жордана , часто также называемое отображением Джордана-Швингера, представляет собой отображение матриц $M ij$ в билинейные выражения квантовых осцилляторов, которое ускоряет вычисление представлений алгебр Ли, встречающихся в физике. Он был представлен Паскуалем Джорданом в 1935 году. ^[1] и был использован Джулианом Швингером ^[2] в 1952 году, чтобы эффективно переработать теорию квантового углового момента , учитывая легкость этой карты в организации (симметричных) представлений su (2) в пространстве Фока .

Карта использует несколько операторов создания и уничтожения. $a_{i}^{\dagger }$ и $a_{i}^{\,}$ рутинного использования в квантовых теориях поля и задачах многих тел , где каждая пара представляет собой квантовый гармонический осциллятор .Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы:

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

где $[\ \ ,\ \ ]$ является коммутатором и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

,

на единицу, как для многомерных квантовых гармонических осцилляторов .

Жорданово отображение набора матриц $M ij$ в билинейные операторы $M$ пространства Фока ,

{\mathbf {M} }\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum _{i,j}a_{i}^{\dagger }{\mathbf {M} }_{ij}a_{j}~,

очевидно, является изоморфизмом алгебры Ли , т. е. операторы $M$ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и матрицы $M$ .

Пример углового момента

Например, изображение матриц Паули SU (2) на этом отображении:

{\vec {J}}\equiv {\mathbf {a} }^{\dagger }\cdot {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\mathbf {a} }~,

для двухвекторного а ^†s и a s также удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и SU(2), и более того, опираясь на соотношение полноты для матриц Паули ,

J^{2}\equiv {\vec {J}}\cdot {\vec {J}}={\frac {N}{2}}\left({\frac {N}{2}}+1\right).

Это отправная точка трактовки Швингером теории квантового углового момента, основанной на действии этих операторов на состояния Фока, построенные из произвольных высших степеней таких операторов. Например, действуя на (ненормализованное) собственное состояние Фока,

J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,

пока

J_{z}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {1}{2}}\left(k-n\right)a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,

так что для $j = (k+n)/2, m = (k-n)/2$ это пропорционально собственному состоянию $| j, м ⟩$ , ^[3]

$|j,m\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~k}a_{2}^{\dagger ~n}}{\sqrt {k!~n!}}}|0\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~(j+m)}a_{2}^{\dagger ~(j-m)}}{\sqrt {(j+m)!~(j-m)!}}}|0\rangle ~.$

Наблюдать $J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}$ и $J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}$ , а также $J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2$ .

Фермионы

Антисимметричные представления алгебр Ли могут быть дополнительно реализованы с помощью фермионных операторов. $b_{i}^{\dagger }$ и $b_{i}^{\,}$ , как это также предложил Джордан. У фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором . $\{\ \ ,\ \ \}$ ,

\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\}\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }+b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\}=\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\}=0.

Поэтому замена непересекающихся (т.е. $i\neq j$ ) операторы в продукте рождения операторов уничтожения меняют знак в фермионных системах, но не в бозонных системах. Этот формализм использовался ^[4] в А.А. Абрикосовым теории эффекта Кондо называется абрикосовскими фермионами для обозначения локализованного спина-1/2, а в литературе по физике твердого тела .

См. также

Ссылки

^ Джордан, Паскуаль (1935). «Связь между симметричными и линейными группами и проблемой многих тел», Journal of Physics 94 , выпуск 7–8, 531–535.
^ Швингер, Дж. (1952). «Об угловом моменте» , неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через предшествовавшее ему агентство — Комиссию по атомной энергии ), номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).
^ Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (2011). Современная квантовая механика (2-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8291-4 . OCLC 641998678 .
^ Абрикосов, А.А. (1 сентября 1965). «Рассеяние электронов на магнитных примесях в металлах и эффекты аномального сопротивления» . Физика Телосложение Физика . 2 (1): 5–20. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueФизика.2.5 . ISSN 0554-128X .

[1] Джордан, Паскуаль (1935). «Связь между симметричными и линейными группами и проблемой многих тел», Journal of Physics 94 , выпуск 7–8, 531–535.

[2] Швингер, Дж. (1952). «Об угловом моменте» , неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через предшествовавшее ему агентство — Комиссию по атомной энергии ), номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).

[3] Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (2011). Современная квантовая механика (2-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8291-4 . OCLC 641998678 .

[4] Абрикосов, А.А. (1 сентября 1965). «Рассеяние электронов на магнитных примесях в металлах и эффекты аномального сопротивления» . Физика Телосложение Физика . 2 (1): 5–20. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueФизика.2.5 . ISSN 0554-128X .

[1]

[2]

[3]

[4]